Метод моментов в определении ширины линии магнитного резонанса — страница 4

  • Просмотров 2333
  • Скачиваний 385
  • Размер файла 336
    Кб

спинов. Пусть ħH — полный гамильтониан системы в отсутствие внешнего радиочастотного поля. Если до приложения радиочастотного поля система находится в тепловом равновесии при температуре Т, то ее статистический оператор определяется выражением (3) которое просто означает, что статистическое поведение системы можно описать, если ее энергетическим уровням ħEn приписать населенности, пропорциональные exp(—ħEn/kT). При

наличии радиочастотного поля уравнение движения для r имеет вид (4) где V – объем образца. Чтобы решить (4) относительно r, сделаем подстановку r* = ei H tr e – i H t , (5) которая преобразует (4) в уравнение . (6) Предположим, что радиочастотное поле было включено в момент, когда образец находился в тепловом равновесии и r (–¥) = r = r* (–¥). В момент t решение (6) в линейном приближении относительно Н1 имеет вид ( 7) Поэтому, возвращаясь к r [см. (5)],

находим (8) Если предположить, что до включения радиочастотного доля намагни­ченность вдоль оси x была равна нулю, т. е. Мх (–¥) = Sp {r0Mx} =0, то (9) и, согласно определению (1 а), (10) Учтем, что температура обычно достаточно высока для того, чтобы для рав­новесной матрицы плотности (3) можно было использовать линейное разложение где e – единичный оператор; тогда восприимчивость c²(w) становится равной (11) откуда, интегрируя по частям,

получаем (12) Выражение (12) можно преобразовать к более компактной форме двумя способами. В первом способе, вводя в рассмотрение оператор Гейзенберга Mx (t) = e iH t Mx e – iH t, (12a) можно переписать (12) в виде (13) где G(t) = Sp{Mx(t) Mx }, (13a) Функцию G(t) назовем функцией корреляции, или функцией релаксации намагниченности системы. Во втором способе выражение (12) можно переписать в виде Отсюда после применения хорошо известной формулы для d-функции

получаем (14) где суммирование S¢ производится только по тем энергетическим уровням, для которых | En —En' | = ħw. Обычно, вводя в рассмотрение вероят­ности переходов, выражение (14) используют как отправную точку для вывода (13) с помощью интегрального представления d-функции. Из равенства (14) в общем виде следует, что функция формы f(w), определяющая форму линии, пропорциональна сумме S¢ |< п | Mx | n’ >|2. Точная зависимость этого

выражения от co вытекает из условия, ограничи­вающего суммирование только по тем уровням, для которых | En —En' | = ħw. Формулы (13) и (14) являются весьма общими и справедливы в случае, когда спектр магнитного поглощения системы содержит одну или несколько острых резонансных линий, т. е. в случае ядерного маг­нитного резонанса. Математически это условие может быть сформулиро­вано следующим образом. Гамильтониан ħH системы