Математика. Интегралы — страница 3

  • Просмотров 2378
  • Скачиваний 337
  • Размер файла 50
    Кб

точка перегиба графика f(x). 4. *1. Первообразная от функции f(x) в данном интервале называется функция F(x), производная которой равна данной функции: F¢(x)=f(x). T1. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Док-во: F(x) и Ф(х) – две первообразные от f(x), тождественно не равные между собой. Имеем F¢(x)=f(x), Ф¢(х)=f(x). Вычитая одно

равенство из другого, получим [F(x)–Ф(х)]¢=0. Но если производная от некоторой функции (в нашем случае от F(x)–Ф(х)) тождественно равна нулю, то сама функция есть постоянная; Þ F(x)–Ф(х)=С. *2. Неопределенным интегралом от данной функции f(x) называется множество всех его первообразных F¢(x)=f(x). 5. Свойства неопределенного интеграла: Производная НИ =подынтегральной функции; дифференциал от НИ равен подынтегральному выражению: НИ от

дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: НИ от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций: u, v, …,w-функции независимой переменной х. Док-во: Постоянный множитель можно выносить за знак НИ: Т2. (об инвариантности формул интегрирования): Пусть òf(x)dx=F(x)+C – какая-либо известная формула интегрирования и u=ф(х) – любая функция, имеющая непрерывную

производную. Тогда òf(u)du=F(u)+C. Док-во: Из того, что òf(x)dx=F(x)+C, следует F¢(x)=f(x). Возьмем функцию F(u)=F[ф(x)]; для её дифференциала, в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции, имеем: dF(u)=F¢(u)du=f(u)du. Отсюда òf(u)du=òdF(u)=f(u)+C. 6. Метод замены переменных. 1) Подведение под знак дифференциала. Т1. Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема, пусть также существует f(x)=f(j(t)) тогда если функция f(x) имеет

первообразную то справедлива формула: F(x) для функции f(x), т.е. F¢(x)=f(x). Найдем первообразную для f(j(t)), [F(j(t))]¢t=F¢(x)(j(t)) j¢(t)=F¢(x) j¢(t)=f(x) j¢(t). òf(x) j¢(t)dt=f(j(t))+C. F(j(t))+C=[F(x)+C]|x=j(t)=òf(x)dx|x=j(t). Замечание1. При интегрировании иногда целесообразно подбирать подстановку не в виде x=j(t), а в виде t=j(x). 2) Подведение под знак дифференциала. F(x)dx=g(j(x)) j¢(x)dx=g(u)du. òf(x)dx=òg(j(x)) j¢(x)dx=òg(u)du. dx=d(x+b), где b=const; dx=1/ad(ax), a¹0; dx=1/ad(ax+b), a¹0;

ф¢(х)dx=dф(x); xdx=1/2 d(x2+b); sinxdx=d(-cosx); cosxdx=d(sinx); Интегрирование по частям: òudv=uv-òvdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,Þudv=d(uv)-vduÞ(интегрируем) òudv=òd(uv)-òvdu или òudv=uv-òvdu. 7. Интегрирование по частям: òudv=uv-òvdu. До-во: Пусть u(x) и v(x) – функции от х с непрерывными производными. D(uv)=udv+vdu,Þudv=d(uv)-vduÞ(интегрируем) òudv=òd(uv)-òvdu или òudv=uv-òvdu. Интегрирование функций,