Математика. Интегралы — страница 2

  • Просмотров 2371
  • Скачиваний 337
  • Размер файла 50
    Кб

y=f(x) имеет в точке x0 локальный экстремум, то либо x0 – стационарная точка, либо f не является дифференцируемой в точке x0. Замечание 1. Необходимое условие экстремума не является достаточным. Т1. (Первое достаточное условие экстремума). Пусть y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой точки x0, в которой она является непрерывной. Если при переходе x через x0 слева направо f¢(x) меняет знак с + на –, то

точка x0 является точкой максимума, при перемене знака с – на + точка x0 является точкой минимума. Док-во: Пусть xÎ(a,b), x¹x0, (a,b) – достаточно малая окрестность точки x0. И пусть, например, производная меняет знак с + на –. Покажем что f(x0)>f(x). По теореме Лагранжа (применительно к отрезку [x,x0] или [x0,x]) f(x)–f(x0)=(x- x0)f¢(a), где a лежит между x0 или x: а) x< x0Þx- x0<0, f¢(a)>0Þf(x)–f(x0)<0Þf(x0)>f(x); б) x>x0Þx–x0>0,

f¢(a)<0Þf(x)–f(x0)<0Þf(x0)>f(x). Замечание 2. Если f¢(x) не меняет знака при переходе через точку х0, то х0 не является точкой экстремума. Т2. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть x0 – стационарная точка функции y=f(x), которая имеет в точке x0 вторую производную. Тогда: 1) f¢¢( x0)>0Þf имеет в точке x0 локальный минимум. 2) f¢¢( x0)<0Þf имеет в точке x0 локальный максимум. 3. *1. График функции y=f(x) называется выпуклым вниз

(или вогнутым вверх) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена выше касательной в любой точке этой дуги. *2. График функции y=f(x) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке (a,b), если соответствующая дуга кривой расположена ниже касательной в любой точке этой дуги. Т1. Пусть y=f(x) имеет на (a,b) конечную 2-ю производную. Тогда: 1) f¢¢(x)>0, "xÎ(a,b)Þграфик f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную

вниз; 2) ) f¢¢(x)<0, "xÎ(a,b)Þграфик f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную вверх *3. Точка (c,f(с)) графика функций f(x) называется точкой перегиба, если на (a,c) и (c,b) кривая y=f(x) имеет разные направления выпуклости ((a,b) – достаточно малая окрестность точки c). Т2. (Необходимое условие перегиба). Если кривая y=f(x) имеет перегиб в точке (c, f(c)) и функция y=f(x) имеет в точке c непрерывную вторую производную, то f¢¢(c)=0. Замечание1.

Необходимое условие перегиба не является достаточным. Замечание2. В точке перегиба вторая производная может не существовать. Т3. (Первое достаточное условие перегиба). Пусть y=f(x) имеет вторую производную на cÎ(a,b), f¢¢(c)=0. Если f¢¢(x) имеет на (a,c), (c,b) разные знаки, то (c, f(c)) – точка перегиба графика f(x). Т4. (Второе условие перегиба). Если y=f(x) имеет в точке конечную третью производную и f¢¢(c)=0, а f¢¢¢(c)¹0, тогда (c, f(c)) –