Математика. Интегралы

  • Просмотров 2216
  • Скачиваний 331
  • Размер файла 50
    Кб

1. *1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b), если для любых точек x1<x2 из (a,b) справедливо неравенство f(x1)£f(x2) (f(x1)³f(x2)). *2. Говорят, что функция f(x) возрастает (убывает) на (a,b), если x1<x2 из (a,b) справедливо неравенство f(x1)<f(x2) (f(x1)>f(x2)). В этом случае функцию называют монотонной на (a,b). Т1. Дифференцируемая на (a,b) функция f(x) тогда и только тогда не убывает (не возрастает) на (a,b), когда f¢(x)³0 (£0) при любом xÎ(a,b).

Док-во: 1) Достаточность. Пусть f¢(x)³0 (£0) всюду на (a,b). Рассмотрим любые x1<x2 из (a,b). Функция f(x) дифференцируема (и непрерывна) на [x1,x2]. По теореме Лагранжа: f(x2)-f(x1)=(x2-x1)f¢(a), x1<a<x2. Т.к. (x2-x1)>0, f¢(a)³0 (£0), f(x2)-f(x1)³0 (£0), значит, f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b). 2) Необходимость. Пусть, например, f(x) не убывает на (a,b), xÎ(a,b), x+DxÎ(a,b), Dx>0. Тогда (f(x+Dx)-f(x))/Dx³0. Переходя к приделу при Dxà0, получим f¢(x)³0. Теорема

доказана. Т2. Для возрастания (убывания) f(x) на (a,b) достаточно, чтобы f¢(x)>0 (<0) при любом xÎ(a,b). Док-во: Тоже что и в Т2. Замечание1. Обратное к теореме 2 не имеет места, т.е. если f(x) возрастает (убывает) на (a,b), то не всегда f¢(x)>0 (<0) при любом xÎ(a,b). *3. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функций y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно +¥ или –¥. Замечание 2. Непрерывные функции вертикальных

асимптот не имеют. *4. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при xà+¥(–¥), если f(x)=kx+b+a(x), где Т3. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при xà+¥(–¥), тогда и только тогда, когда существуют xà+¥(–¥) наклонная асимптота называется правой (левой). Док-во: Предположим, что кривая y=f(x) имеет наклонную асимптоту y=kx+b при xà+¥, т.е. имеет место равенство f(x)=kx+b+a(x). Тогда

xà+¥, получаем f(x)=kx+b+a(x)à b=f(x)-kx-a(x). Переходя к пределу при xà+¥, получаем f(x)–kx=b+a(x), где a(x)à0, при xà+¥(–¥). Отсюда и получаем представление f(x)=kx+b+a(x). Теорема доказана. Замечание3. При k=0 прямая y=b называется горизонтальной асимптотой, причем при xà+¥(–¥) – правой (левой). 2. *1. Точку х0 назовем стандартной для функции f(x), если f(x) дифференцируема в точке x0 и f¢(x0)=0. *2. Необходимое условие экстремума. Если функция