Математическое моделирование биологических форм — страница 7

об особи последующего поколения, а в пространстве, очерченном скорлупой яйца, совершается таинство возникновения нового существа. Ту же в принципе роль играет и раковина моллюска. Рис. 5. Рис.6 10 Рис.7 «живой» треугольник 11 2.2.3 Логарифмическая спираль. Вернёмся к А-ромбу. Треугольник Л1NOO, подобный треугольнику OOО1Л1, можно получить следующим образом (рис.2 и рис.8). На стороне Л1П1 отложить подобный ему треугольник так, чтобы сторона Л1N

стала меньшим катетом, а гипотенуза полученного подобного треугоьника лежала на стороне Л1N. При этом мерность треугольника со сторонами х2, х и 1увеличилась в Ф раз. Продолжим такую цепь построений до бесконечности. Вершины полученных треугольников очерчивают логарифмическую спираль ð á = 2lnФ1 / 2 R Ф1/ 2е . Рис.8 Эта спираль часто встречается в природе и повторяет формы чешуек на сосновой шишке, спираль раковины моллюска

Наутилуса (рис. 9), соцветия многих растений, Рис.8 например, маргаритки или подсолнуха. Один из наиболее распространенных пауков, Эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали. Спираль, если представить её как живой объект, возникающий из точки начала полярных координат, захватывает _______пространство по закону, представленному фундаментальными константами природы: иррациональное число Ф ,

рациональное число 2, трансцендентные числа е,ð. Рис.9 Существование спирали приводит к интересному выводу: Число ð можно заменить числом Ф: ð=22:Ф1/2 3,1416≈3,1446 12 Таким образом, поворотная симметрия ð/2 и закон изменения мерности Ф1/2 строят логарифмическую спираль ð á = 2lnФ1 / 2 R Ф1/ 2е . Логарифмическая спираль – единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство и объясняет, почему

логарифмическая спираль часто встречается в природе. 2.4 Уравнение экспансии – векторная основа формообразования. Рассмотрим поподробнее уравнение экспансии, как возможную основу модели формообразования: R S U ! ! ! = + , Какие бы факторы ни слагались в понятие «потенция S», и какие бы ни составляющие ни составляли потенцию U, для геометрической модели существенно важно взаимодействие внутренней потенции S и внешней U; при этом: «+» -

экспансия из центра вовне, «-» - извне в центр. Предположение о степенной зависимости R от U: R = Un , где 0≤ n ≤ ∞, вытекает из того, что изменить величину U кроме неё самой ничто не может; а S = const = 1. В этом случае условие R = Un строит U-симметрии. Наряду с рассмотренными U-доминантными формами обнаруживаются S-доминантные формы, заданные условием R = Sn . Уравнение экспансии продуцирует 8 типов симметрий (рис.10), дихотомично полярных: