Математическое моделирование биологических форм — страница 4

  • Просмотров 3415
  • Скачиваний 317
  • Размер файла 601
    Кб

Рассмотрим один из способов деления отрезка в золотом сечении (так решали задачу деления отрезка в крайнем и среднем отношении в древнем Египте и древней Греции): делимый отрезок AD=а (рис. 1) достраивают до двойного квадрата ABCD со стороной AB=а/2. Потом из диагонали DB циркулем отсекают отрезок ВЕ=АВ=а/2. С помощью циркуля переносят отрезок FD = FE = x = 5 − a / 2 . Задача решена: a : x = x : (a - x) = 1.618034... Рис.1 Вообще, любой способ деления отрезка в

золотом сечении сводится к построению квадрата и двойного квадрата (полуквадрата). Таким образом, в математику приходят числа 2 и 5 (Диагонали квадрата и двойного квадрата). Появление диагонали BD двойного квадрата ABCD и есть появление отношения золотого сечения: сторона, а есть среднее между 6 диагональю BD= 5 , увеличенной на сторону а/2, и этой же диагональю, уменьшенной на сторону а/2: 1,618... 5 1 2 2 5 1 = − + = 2.2.2 А-ромб и «живой»

треугольник. Изобразим на вертикали отрезок, разделённый в золотом сечении на две неравные части (рис.2). Большую часть ещё раз разделим в золотом сечении и так будем распространять золотую цепь до бесконечности в направлении, восходящем от большего к меньшему (аддитивность). В центрах полученных отрезков построим окружности радиусами этих отрезков. До открытия возможности, скрытой в золотом сечении и позволяющей моделировать

формы, играющие ключевую роль в ритмах жизни живой природы, остаётся несколько шагов. Введение прямого угла в чертёж преобразовало линейный ряд золотого сечения в пространство симметрий подобий. Для этого отметим предел, к которому стремится убывающий вид (точка N на чертеже). Затем проведём касательные через точку N к проведённым окружностям. Соединив точки касания с центрами соответствующих окружностей, получаем

треугольники с прямыми углами. Соединив точку О0 и Л1 (или П1), получим прямоугольный треугольник с аналогичным отношением сторон. В получившихся прямоугольных треугольниках отношение малого катета к большому равно отношению большого катета к гипотенузе. Такой треугольник – треугольник геометрической прогрессии получил в чертеже шесть ориентаций (см. рисунок). Полученную фигуру будем называть асимметричным ромбом (А-ромбом);

левая и правая части зеркальны, восходящая цепь золотого сечения развита окружностями, а не полуокружностями (что требуется для практического деления отрезка в золотом сечении), что позволяет выявить некоторые отражения образа данного чертежа в формах живой природы. А-ромб не имеет мерности: любой отрезок в структуре А-ромба можно принять за линейную меру длины. Тогда длина любого его элемента есть число n Ф , где n – целые