Математический метод А.Ю.Виноградова решения краевых задач

  • Просмотров 1451
  • Скачиваний 326
  • Размер файла 11
    Кб

   Еще новый «метод половины констант» Алексея Юрьевича Виноградова для решения краевых задач.   www.Vinogradov-math.narod.ru   Автор: Алексей Юрьевич Виноградов (1970 года рождения, красный диплом МГТУ им. Баумана 1993 года, кандидат физ-мат наук 1996 года).   Метод придуман утром 12 июля 2006 года и этот метод может быть полезен тем, кто хочет защитить диссертацию на компьютерном обсчёте этого самого метода. Метод прост и понятен. Частично

он базируется на материалах странички www.VinogradovAlexei.narod.ru.   1. Введение - краткое изложение основных матрично-векторных понятий в их классическом виде (составлено для выпускников вузов).   В матричном виде система линейных дифференциальных уравнений записывается так:   Y(x)’=A(x)·Y(x) + F(x),   где Y(x) - вектор-столбец искомых функций, Y(x)’ - вектор-столбец производных искомых функций, A(x) - квадратная матрица коэффициентов, F(x) –

вектор внешних воздействий на систему.   Здесь для простоты рассуждений и для незагроможденности формул будем рассматривать однородную систему дифференциальных уравнений:   Y(x)’=A(x)·Y(x),   но метод справедлив и для неоднородной системы.   Условия на левом крае записываются в виде:   L·Y(0) = L,   где Y(0) - вектор-столбец значений функций Y(x) на левом крае x=0, L - вектор-столбец «правой части» краевых условий левого края, L -

прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края.   Аналогично записываются условия на правом крае:   R·Y(1) = R,   где Y(1) - вектор-столбец значений функций Y(x) на правом крае x=1, R - вектор-столбец «правой части» краевых условий правого края, R - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края.   В книге «Теория матриц» Гантмахера можно посмотреть, что решение

однородной (без правой части) системы дифференциальных уравнений можно искать при помощи матрицы Коши, которую ещё называют интегралом Коши или матрициантом. Для обозначения можно использовать букву К или выражение K(х¬0). (Там же можно посмотреть формулы для неоднородной системы дифференциальных уравнений.)   Y(x)=K(х¬0)·Y(0), где K(х¬0)=exp(Ax) при условии, что матрица A=constant.   При условии, что матрица A не константа можно