Лобачевский и неевклидова геометрия — страница 7

перпендикулярными некой плоскости; и, наконец, третьи образованы прямыми и плоскостями, параллельными данной плоскости в одном направлении. Точно так же определяются соответствующие точки. В случае связки первого рода они формируют сферу, второго – поверхность равных расстояний, третьего – предельную поверхность. Предельная поверхность обладает удивительным свойством: на ней справедлива геометрия Евклида. Этот факт

свидетельствует о том, что неевклидова геометрия не опровергает евклидову, а включает её в себя как органичную часть. В процессе нахождения тригенометрических формул, Лобачевский проецировал прямоугольный треугольник с предельной плоскости на плоскость, касательную к ней. Пользуясь формулами и cos, sin и tg определяются по-другому: с – сторона против прямого угла, а – против a, в – против b. Несмотря на все кажущиеся странности,

геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, и Евклидова является только её составной частью. Но в пределах ежедневных измерений Евклидова геометрия дает исчезающе малые ошибки, и мы пользуемся именно ею. 5 постулат. Итак, мы дошли до пятого постулата. Сам Евклид формулировал его так: «Если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то при

неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где сумма углов меньше двух прямых». Другие формулировки гораздо проще, например: «через точку вне прямой можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной». Конечно, ещё сам Евклид пытался вывести этот сложный постулат из более простых. После него этой проблемой занимались почти все известные математики, но чаще всего это заканчивалось тем,

что постулат выводился только при принятии каких-то дополнительных предположений. У менее удачливых математиков не получалось вообще ничего. Самую известную попытку доказать пятый постулат методом от противного предпринял итальянский монах Джироламо Саккерти в 1733 году. Но отрицание пятого постулата – это и есть главное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Он, как и другой математик И. Г. Ламберт в 1766 году,

вплотную подошел к неевклидовой геометрии, но не нашел её реальной. Гаусс, Больяи, Швейкарт, Тауринус – они все рано или поздно убеждались, что доказать пятый постулат невозможно. Сам Лобачевский говорил об этой проблеме: «Напрасные страданья … в продолжение двух тысяч лет». И именно он смог отверг этот постулат, создав новую геометрию. Гаусс, изучая поверхности, обнаружил, что на поверхностях отрицательной кривизны сумма углов