Лобачевский и неевклидова геометрия — страница 5

решает стать профессором. Удивительно, но тему пробной лекции утверждает и принимает именно Гаусс. Риман создал геометрию, где прямые замкнуты, где нет параллельных прямых, а сумма углов треугольника больше 180о. Она похожа на геометрию сферы Гаусса. Риман оказался хорошим учеником великого математика, и из нежеланного гостя стал единственным другом. Он умер в Италии, не закончив последний мемуар. На русском языке он появился

только в 1893 году. Его название было: «О гипотезах, лежащих в основе геометрии». Краткое описание геометрии Лобачевского. 1 2 3 1 2 рис. 3 1 2 3 3 1 рис. 2 рис 1. Иногда говорят, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются в бесконечности. Но это не совсем так. Есть только немного другое свойство параллельности: через одну точку вне прямой можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. Это видно на рисунке 1.

Причем параллельность сохраняется только в сторону уменьшения расстояния между прямыми. Этот, казалось бы, простой факт, меняет всю геометрию. Как, например, в геометрии Евклида доказывается, что сумма углов треугольника равна 180о? Классическое доказательство приведено на рисунке 2. Используется свойство углов при накрест лежащих прямых, и выходит, что Ð1+Ð2+Ð3=180о. Но так как в геометрии Лобачевского параллельность

сохраняется только в одном направлении, то для нахождения суммы углов треугольника*, то нужно провести две прямые, параллельные данной в разные стороны. Что получается, видно на рисунке 3. Понятно, что теперь сумма углов треугольника меньше 180о. Эта разница была названа Лобачевским дефектом треугольника. Одними из важных объектов на плоскости Лобачевского являются пучки прямых. Но чтобы описать эти пучки, сначала надо уяснить,

что в плоскости Лобачевского есть три типа расположения прямых: прямые или параллельны, или пересекаются, или являются расходящимися. _______ * Здесь и далее подразумевается геометрия Лобачевского, если нет оговорки на геометрию Евклида. Так вот, первый вид пучков образован прямыми, имеющими общую точку – центр пучка (рис. 4а). Пучок расходящихся прямых – это перпендикуляры к одной прямой – оси пучка (рис. 4б). Из этого определения

выходит интересное и, казалось бы, абсурдное утверждение, что два перпендикуляра к одной прямой непараллельны, и отличие от геометрии Евклида. И, наконец, пучок, образуемый прямыми, параллельными данной прямой в заданном направлении (рис. 4в). SHAPE * MERGEFORMAT рис. 4 а б в Следующими объектами геометрии Лобачевского являются кривые. Для их построения Лобачевским было введено понятие соответственных точек. В пучке первого рода это точки