«Liber аbaci» Леонардо Фибоначчи — страница 7

  • Просмотров 4424
  • Скачиваний 123
  • Размер файла 29
    Кб

частенько приходилось взвешивать свой товар. * Клод Гаспар Баше де Мезириак (1581...1638) известен, в частности, как автор книг по занимательной математике. В одной из них и приведена задача об оптимальной системе гирь. В «Liber abaci» содержался также более сложный вариант рассмотренной задачи. В нем разрешается класть гири на обе чашки весов, а значит, надо будет думать не только о выборе гирь, но и о том, куда и каком количестве их

добавлять. Ясно, что в данном случае каждое из чисел ai может принимать три различных значения (гиря добавляется либо на свободную чашку весов, либо на чашку с грузом или вообще не используется) и приходится обращаться уже к троичной системе счисления. Решив задачу для n ≤ 40, Леонардо получил в ответе набор гирь массами 1, 3, 9 и 27 весовых единиц. Оба варианта задачи интересны еще и тем, что найденные числа являются членами

геометрических прогрессий со знаменателями q = 2 и q = 3 соответственно. А к системе из пяти гирь, упоминающейся в задаче 4, можно прийти, рассматривая неравенство 30 ≤ 1 + 2 + 22 + ... + 2m–1, или 30 ≤ 2m – 1. Его наименьшее натуральное решение m = 5. Задача 5. Если первый человек получит от второго 7 денариев, то станет в пять раз богаче второго, а если второй человек получит от первого 5 денариев, то станет в семь раз богаче первого. Сколько денег у

каждого? Ответ: 7 2/17 и 9 14/17 денариев. Комментарий. Обозначив буквами x и y количество денег, имеющихся у первого и у второго человека, получим систему из которой найдем x = 7 2/17 и y = 9 14/17. Такой способ решения напрашивается сам собой, поскольку в задаче говорится о двух неизвестных. А вот Леонардо Пизанский в своих рассуждениях ограничился одной неизвестной, назвав ее по давно укоренившейся среди математиков традиции «вещью». Приняв

имущество второго человека за вещь и семь денариев, т.е. за (x + 7), он выразил имущество первого как (5x – 7) и в дальнейшем пришел к линейному уравнению x + 12 = 7 (5x – 12). Попутно заметим, что в трактате Фибоначчи содержатся аналогичные задачи и с бóльшим числом людей. Задача 6. 30 птиц стоят 30 монет. Куропатки стоят по 3 монеты, голуби по 2, а пара воробьев – по монете. Сколько птиц каждого вида? Ответ: 3 куропатки, 5 голубей, 22 воробья.

Комментарий. Из-за большого количества неизвестных данную задачу вполне логично решать алгебраически. Если число куропаток, голубей и воробьев обозначить буквами x, y, z соответственно, то решение сведется к нахождению тройки натуральных чисел, удовлетворяющих системе уравнений Исключив z и выразив затем x через y, получим x = 6 – 3/5 y. Единственное возможное значение y равно 5, тогда x = 3, z = 22. Интересно, что данную задачу автор «Liber