Кривые третьего и четвертого порядка

  • Просмотров 19032
  • Скачиваний 298
  • Размер файла 205
    Кб

Чувашский государственный университет им. И.Н. Ульянова Кафедра высшей математики КУРСОВАЯ РАБОТА на тему: «Кривые третьего и четвертого порядка» Выполнили: студенты группы С-12-00 Пинаев И.Н. Искаков Р.Р. Проверила: доцент кафедры высшей математики к.ф.-м.наук Самарина С.М. Чебоксары, 2002 Декартов лист 1. Особенности формы. Декартовым листом называется кривая 3-го порядка, уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид (1)

Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа, которые можно получить, полагая y=tx, присоединяя к этому равенству равенство (1) и решая полученную систему относи­тельно х и у, в результате будем иметь: (2) откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой. Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид (3) Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симмет­рично, откуда

следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х. Обычное исследование на особые точки при­водит к заключению, что начало координат является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат, можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим

х = 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой у = х в точке Точки этой петли, в которых касательные парал­лельны координатным осям, имеют координаты и (cм. рис. 1) Для окончательного заключения

о форме кривой следует еще найти асимптотуприравняем нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х. Получим b = - а. Таким образом, де­картов лист имеет асимптоту у = — х — а; следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность. Рис. 1 2. Свойства. Согласно теоре­ме Маклорена, если в трех точках алгебраи­ческой кривой 3-го порядка, ле­жащих на одной прямой, про­вести