Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента — страница 4

  • Просмотров 3382
  • Скачиваний 255
  • Размер файла 156
    Кб

предел полученного выражения при условии, что длина дуги ÈMM1 стремится к нулю: Так как величины j и s зависят от x, то, следовательно, j можно рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра x. Тогда Для вычисления воспользуемся формулой дифференцирования функции, заданной параметрически: Чтобы выразить производную через функцию y=f(x), заметим, что и, следовательно

Дифференцируя по x последнее равенство, получаем . И так как и окончательно, так как Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная, можно вычислить кривизну по формулам. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически. Пусть кривая задана параметрически: x=j(t), y=y(t). Тогда Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем . Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных

координатах. Пусть кривая задана уравнением вида r = f(q). Запишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: x = r cos q, y = r sin q . Если в эти формулы подставить вместо r его выражение через q, то есть f(q), то получим x = f(q) cos q, y = f(q) sin q Последние уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, причём параметром является q. Тогда, , Подставляя последние выражения в формулу, получаем формулу для вычисления

кривизны кривой, заданной в полярных координатах: Радиус и круг кривизны Определение 7. Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М, называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке: R = 1/K, или Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ), направленную в сторону вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R кривизны кривой в точке М. Точка С называется центром кривизны данной

кривой с центром в точке С (проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке М. Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие координаты центра кривизны. Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y) и определим координаты a и b центра кривизны, соответствующего этой точке (рис.

9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М: Так как точка C(a, b) лежит на нормали, то её координаты должны удовлетворять уравнению Далее, точка C(a, b) находится от точки М на расстоянии, равном радиусу кривизны R: Решив совместно уравнения * определим a, b: и так как то Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в последних формулах, нужно рассмотреть случай y!!>0 и y!!<0. Если y!!>0 , то в этой точке