"Комплект" заданий по численным методам — страница 3

  • Просмотров 2994
  • Скачиваний 431
  • Размер файла 32
    Кб

линейного по h члена включительно. Существует такое значение t в интервале [t 4m 0 , t 4m+1 0], при котором Е 4i 5am 0 =1/2! * h 4m 52 0*x 4i 0''(t), где i=[1;n]. 3.  _Выбор шага интегрирования .. Должны соблюдаться условия абсолютной (5) или относительной (6) устойчивости в зависимости от характера интегрируемой системы. Для уравнения первого порядка шаг должен быть : h < 2* 7t 0 . Для уравнений n-ого порядка : h 4i 0 <=

2* 7t 4i  0. А окончательно шаг выбирают по условиям устойчивости : h < 2* 7t 4min 0 ,  7t 4min 0 = min  7t 4i Вначале задаётся допустимая ошибка аппроксимации , а в процессе ин- тегрирования шаг подбирается следующим образом : 1) по формуле (1) определяется очередное значение x 5m+1 0; 2) определяется dx 4i 5m 0 = x 4i 5m+1 0 - x 4i 5m 0 ; 3) условие соблюдения точности имеет вид : h 4i 5m 0 <=

E 4i 5aдоп 7/ 0[ 72 0f 4i 0(x 5m 0,t 4m 0) 72 0 + E 4i 5aдоп 7/ 0h 4max 0] (7) 4) окончательно на m-м интервале времени выбирается в виде: h 4m 0 = min h 4i 5m 0. ЯВНЫЕ МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТА Метод Эйлера является методом Рунге-Кутта 1-го порядка . Методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка являются одношаговыми , согласуются с рядом Тейлора до порядка точности s , который равен порядку метода . Эти методы не требуют

вычисления производных функций , а только самой функции в нескольких точках на шаге h 4m 0. Алгоритм метода Рунге-Кутта 2-го порядка состоит в следующем : x 5m+1 0 = x 5m 0 + h 4m 0/2 (k 41 0+k 42 0), где k 41 0=f(x 5m 0,t 4m 0) ; k 42 0=f(x 5m 0+h 4m 0*k 41 0,t 4m 0+h 4m 0). Ошибка аппроксимации Е 5a 0 = k*h 4m 53 0 . Алгоритм метода Рунге-Кутта 4-го порядка

x 5m+1 0=x 5m 0+h 4m 0/6(k 41 0+2k 42 0+2k 43 0+k 44 0), где k 41 0=f(x 5m 0,t 4m 0); k 42 0=f(x 5m 0+h 4m 0/2*k 41 0,t 4m 0+h 4m 0/2); k 43 0=f(x 5m 0+h 4m 0/2*k 42 0,t 4m 0+h 4m 0/2); k 44 0=f(x 5m 0+h 4m 0*k 43 0,t 4m 0+h 4m 0). Ошибка аппроксимации Е 5a 0 = k*h 4m 55 0. НЕЯВНЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ Неявный метод Эйлера используется для интегрирования "

жест- ких " систем. "Жесткие" системы это такие системы, в которых 7  0 ( 7l 4max 0) и ( 7l 4min 0) сильно отключаются друг от друга , то в решениях системы x' = A*x (1) будут присутствовать экспоненты, сильно отличаются друг от друга по скорости затухания . Шаг интегрирования для таких систем должен вы- бираться по условиям устойчивости из неравенства h <= 2* 7t 4min , 0 (2) где  7t 0=1/ 72a2 0 - постоянная времени