Кластерный анализ в задачах социально-экономического прогнозирования — страница 3

  • Просмотров 5458
  • Скачиваний 498
  • Размер файла 50
    Кб

разбиения и чтобы объекты, принадлежащие одному и тому же кластеру, были сходными, в то время, как объекты, принадлежащие разным кластерам были разнородными. Например, пусть G включает n стран, любая из которых характеризуется ВНП на душу населения (F1), числом М автомашин на 1 тысячу человек (F2), душевым потреблением электроэнергии (F3), душевым потреблением стали (F4) и т.д. Тогда Х1 (вектор измерений) представляет собой набор указанных

характеристик для первой страны, Х2 - для второй, Х3 для третьей, и т.д. Задача заключается в том, чтобы разбить страны по уровню развития. Решением задачи кластерного анализа являются разбиения, удовлетворяющие некоторому критерию оптимальности. Этот критерий может представлять собой некоторый функционал, выражающий уровни желательности различных разбиений и группировок, который называют целевой функцией. Например, в

качестве целевой функции может быть взята внутригрупповая сумма квадратов отклонения: где xj - представляет собой измерения j-го объекта. Для решения задачи кластерного анализа необходимо определить понятие сходства и разнородности. Понятно то, что объекты i-ый и j-ый попадали бы в один кластер, когда расстояние (отдаленность) между точками Хi и Хj было бы достаточно маленьким и попадали бы в разные кластеры, когда это расстояние

было бы достаточно большим. Таким образом, попадание в один или разные кластеры объектов определяется понятием расстояния между Хi и Хj из Ер, где Ер - р-мерное евклидово пространство. Неотрицательная функция d(Хi , Хj) называется функцией расстояния (метрикой), если: а) d(Хi , Хj) ³ 0, для всех Хi и Хj из Ер б) d(Хi, Хj) = 0, тогда и только тогда, когда Хi = Хj в) d(Хi, Хj) = d(Хj, Хi) г) d(Хi, Хj) £ d(Хi, Хk) + d(Хk, Хj), где Хj; Хi и Хk - любые три вектора из Ер.

Значение d(Хi, Хj) для Хi и Хj называется расстоянием между Хi и Хj и эквивалентно расстоянию между Gi и Gj соответственно выбранным характеристикам (F1, F2, F3, ..., Fр). Наиболее часто употребляются следующие функции расстояний: 1. Евклидово расстояние d2(Хi , Хj) = 2. l1 - норма d1(Хi , Хj) = 3. Сюпремум - норма d¥ (Хi , Хj) = sup k = 1, 2, ..., р 4. lp - норма dр(Хi , Хj) = Евклидова метрика является наиболее популярной. Метрика l1 наиболее легкая для вычислений.

Сюпремум-норма легко считается и включает в себя процедуру упорядочения, а lp - норма охватывает функции расстояний 1, 2, 3,. Пусть n измерений Х1, Х2,..., Хn представлены в виде матрицы данных размером p ´ n: Тогда расстояние между парами векторов d(Хi , Хj) могут быть представлены в виде симметричной матрицы расстояний: Понятием, противоположным расстоянию, является понятие сходства между объектами Gi. и Gj. Неотрицательная вещественная