История теоретического изучения течения жидкости в картинках и примерах — страница 3

  • Просмотров 5809
  • Скачиваний 225
  • Размер файла 97
    Кб

И третья область -- Re~$\gg 1$ -- область развитой турбулентности. Далее мы сосредоточим наше внимание на рассмотрении последних двух областей. \beginsection{Несколько картинок} Каждое течение может быть охарактеризовано своей спектральной функцией, или энергетическим спектром, дающим представление о распределении кинетической энергии по частотам движений. Спектральная функция $P(\omega)$ определяется как квадрат фурье-образа поля

скоростей: $$ \u(\omega)={1\over T} \int\limits_0^T dt\, e^{2\pi i \omega t} \u(t),$$ $$ P(\omega)=|\u(\omega)|^2.$$ Удобно так же пользоваться определёнными геометрическими образами, а именно пространством состояний жидкости, каждая точка которого отвечает опре\-делён\-ному распределению скоростей в этой жидкости. Состояниям в близкие моменты времени соответствуют близкие точки. (Это вообще говоря бесконечномерное функциональное пространство, в некоторых случаях оно

может быть заменено конечномерным --- см. далее). Попытаемся понять как выглядят различные течения жидкости в терминах энергетического спектра и в пространстве состояний. Если поместить какое-либо тело в поток жидкости, например, опору моста в русло реки, то при очень малых скоростях жидкость течёт ламинарно (Рис.~1). \Рис{1. Re $=10^{-2}$}{r1.bmp} Такое течение является стационарным, т.~е. скорость в любой точке пространства не зависит от

времени. Следовательно вся энергия в спектре сосредоточена на нулевой частоте. В пространстве состояний такое течение изображается одной точкой. Эта точка является устойчивой траекторией системы, т.~е. если начальное течение соответствовало другой точке в пространстве состояний, то в пределе $t \rightarrow \infty$ любое распределение скоростей будет стремится к устойчивому. (Строго говоря не любое, а любое из области притяжения

устойчивой траектории). С ростом скорости в потоке образуются вихри, однако картина продолжает остоваться стационарной (Рис.~2). \Рис{2. Re $= 20$}{r2.bmp} Так как поле скоростей по прежнему стационарно, то никаких изменений относительно ламинарного течения в спектре не произойдёт. В пространстве состояний это течение будет так же, как и ламинарное изображаться одной точкой, однако, её положение изменится. При дальнейшем росте скорости

возможен отрыв вихрей и их увлечение потоком. Возникает нестационарное течение, которое, например, можно наблюдать с моста. При этом скорость, измеренная в некоторой точке вниз по потоку за мостом, оказывается периодической функцией времени (Рис.~3). \Рис{3. Re $=100$}{r3.bmp} В такой ситуации происходит качественное изменение как энергетического спектра, так и траектории системы в пространстве состояний. В спектре появляется новая