Исследование элементарных функций — страница 3

  • Просмотров 8468
  • Скачиваний 758
  • Размер файла 120
    Кб

связана со словом “функция”, но для обозначения функциональной зависимости может применяться и любая другая буква; иногда даже повторяют одну и ту же букву y: y=y(x). В некоторых случаях пишут аргумент и в виде значка при функции, например, Если, рассматривая функцию y=f(x), мы хотим отметить её частное значение, которое отвечает выбранному частному значению x, равному f( F (x)=, g (t)=, то f(1) означает численное значение функции f(x) при x=1, т.е.

попросту число g(5) означает число 2, и т. д. Теперь обратимся к самому правилу, или закону соответствия между значениями переменных, которое составляет сущность понятия функциональной зависимости. Наиболее просто осуществление этого правила с помощью формулы, которая представляет функцию в виде аналитического выражения, указывающего те аналитические операции или действия над постоянными числами и над значением x, которые надо

произвести, чтобы получить соответствующее значение y. Этот аналитический способ задания функции является наиболее важным для математического анализа. Однако будет ошибочным думать, что это – единственный способ, которым может быть задана функция. В самой математике нередки случаи, когда функция определяется без помощи формулы. Такова, например, функция E(x) – “целая часть числа x”. Например, E (1)=1, E (2,5)=2, E ()=3, E (-)=-4 и. т., хотя

никакой формулы, выражающей E(x), у нас нет. Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию обозначают C (f (x) = C). Функция f (x) называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если для любой пары чисел < следует, что f (f (f () > f ()). Функция f(x) называется четной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и при любом x из X имеет место равенство

f(-x)=f(x). График четной функции симметричен относительно оси Oy. Функция f(x) называется нечетной, если область её определения X есть множество, симметричное относительно начала координат, и если при любом x из X имеет место равенство f(-x)=-f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Сумма и разность двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная). Действительно, пусть y(x)=f(x) + g(x). Тогда, если f(x) и g(x)

– четные, то y (-x) = f(-x) + g(-x) = f (x) + g (x) = y (x). Если же f (x) и g (x) – нечетные функции, то функция y (x) также будет нечетной, y (-x) = f (-x) + g (-x) = -f (x) – g (x) = -[f (x) + g (x)] = -y (x). (Для разности доказательство аналогичное). Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную – нечетная функция. В самом деле, пусть y (x) = f (x)*g (x) и f (x) и g (x) – четные функции, тогда y (-x) = f (-x)*g (-x) = f (x)*g (x) = y (x); если f (x) и g (x)