Иррациональные уравнения — страница 5

  • Просмотров 6636
  • Скачиваний 403
  • Размер файла 75
    Кб

содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень. Например: 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 3.1. Решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Пример №1 Решить уравнение Возведем обе части уравнения (1) в квадрат: далее последовательно имеем: 5х – 16 = х² - 4х + 4 х² - 4х + 4 – 5х + 16 = 0 х² - 9х + 20 = 0 Проверка: Подставив х=5 в уравнение (1),

получим – верное равенство. Подставив х= 4 в уравнение (1), получим – верное равенство. Значит оба найденных значения – корни уравнения. Ответ: 4; 5. Пример №2 Решить уравнение: (2) Решение: Преобразуем уравнение к виду: и применим метод возведения в квадрат: далее последовательно получаем. Разделим обе части последнего уравнения почленно на 2: еще раз применим метод возведения в квадрат: далее находим: 9(х+2)=4–4х+х² 9х+18–4+4х-х²=0

-х²+13х+14=0 х²-13х–14=0 х1+х2 =13 х1 =19 х1 х2 = -14 х2 = -1 по теореме, обратной теореме Виета, х1=14, х2 = -1 корни уравнения х²-13х–14 =0 Проверка: подставив значение х=-14 в уравнение (2), получим– - не верное равенство. Поэтому х = -14 – не корень уравнения (2). Подставив значение x=-1 в уравнение (2), получим- - верное равенство. Поэтому x=-1- корень уравнения (2). Ответ: -1 3.2 Метод введения новых переменных. Решить уравнение Решение: Конечно, можно решить это

уравнение методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Но можно решить и другим способом – методом введения новых переменных. Введем новую переменную Тогда получим 2y²+y–3=0 – квадратное уравнение относительно переменной y. Найдем его корни: Т.к. , то – не корень уравнения, т.к. не может быть отрицательным числом . А - верное равенство, значит x=1- корень уравнения. Ответ: 1. 3.3.        

Искусственные приёмы решения иррациональных уравнений. Решить уравнение: (1) Решение: Умножим обе части заданного уравнения на выражение сопряжённое выражению Так как То уравнение (1) примет вид: Или Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом известен. Тогда x1=0.Остаётся решить уравнение: (2) Сложив уравнения (1) и (2), придём к уравнению (3) Решая уравнение (3) методом

возведения в квадрат, получим: Проверка: x1=0, x2=4, x3= -4 подставим в уравнение 1) - не верное равенство, значит x1=0- не корень уравнения. 2) - верное равенство, значит x2=4- корень уравнения. 3) - не верное равенство, значит x3= -4- не корень уравнения. Ответ: 4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Итак, уравнения, которые содержат переменную под знаком корня, называются иррациональными. Иррациональные уравнения решаются в основном возведением обеих частей уравнения в