Интерполяция многочленами — страница 5

  • Просмотров 3669
  • Скачиваний 463
  • Размер файла 27
    Кб

предыдущий коэффициент вычисляется через последующий. То есть в результате накапливающаяся ошибка вычисления больше всего влияет на коэффициент при x0. Следствием этого является смещение графиков чётных степеней, так как в их разложении присутствует этот коэффициент. Заметим также, что смещение при разложении функции y=x2 больше, чем при разложении функции y=x10. Этот тоже легко объяснить, так как при увеличении степени вклад T0 в

разложении степенной функции уменьшается. Что же касается нечётных степеней, то мы получили такое хорошее совпадение так как чётные коэффициенты в разложении нечётных степеней равны 0, а коэффициенты при всех степенях x, кроме нулевой влияют лишь на отклонение ветвей. Подтверждением этого служат графики на странице . Следующим этапом работы являлось приближение полиномами Чебышева произвольной функции. В качестве исходной

функции я взял функцию y=sin(4x/3). Используемая в работе программа представлена на странице . Для её написания был использован следующий алгоритм: I.   Приближение функции f(x) по Чебышеву. 1) Задаём степень n многочлена Tn(x) и пределы [a; b] изменения аргумента функции f(x). 2) Для i=0, 1, …, n на отрезке [-1; 1] формируем сетку оптимальных значений аргумента в узлах чебышевской интерполяции: Переводим в отрезок [a; b]: и вычисляем f(xi) 3) Для k=0, 1, …, n

è i=0, 1, …, n вычисляем: В результате получаем коэффициенты a0, a1, …, an многочлена T(), ïðèáëèæàþùåãî ôóíêöèþ f(x). II. Вычисление значений T(x) выполняется по следующему алгоритму: 1) Считая заданным массив ak, задаём память под массив из n+2 вспомогательных коэффициентов bk. Полагаем bn+2=0, bn+1=0. 2) Задаём значения x на [a; b] и переводим их в отрезок [-1; 1] с помощью преобразований: 3) Для k=n, n-1,

…, 1 вычисляем bk=ak-bk+2+2xbk+1. 4) Находим T()=a0/2 - b2 +xb1 Также в программе было использовано разложение в ряд Тейлора для сравнения с разложением по полиномам Чебышева. Прежде всего я рассмотрел приближение на интервале [-1; 1]. Наложив на график sin(4x/3) график его приближения полиномами Чебышева и график, построенный с помощью разложения в ряд Тейлора, я получил очень точное совпадение. Визуально нельзя различить три кривых. Рассмотрим

график ошибок. В соответствии с теорией ошибка Чебышева знакопеременна и распределена более или менее равномерно по всему интервалу. Ошибка же Тейлора небольшая около 0 и сильно увеличивается при приближении к 1 (заметим, что в этом и в других случаях ряд Тейлора содержит те же степени x, но с другими коэффициентами). Интереснее рассмотреть приближение на более длинных интервалах. На интервале [-1; 1] приближение полиномами