Интерполяция многочленами — страница 4

прямых, имеющих равные углы между собой (рис.1). Таким образом, множество точек xj, на котором система чебышевских многочленов Tn(x) ортогональна, таково: j=0, 1, 2, …,N-1) Так как Tn(x) есть, по существу, cos(nq), то они являются равноколеблющимеся функциями, и так как они многочлены, то обладают всеми свойствами ортогональных многочленов. Чебышев показал, что из всех многочленов Рn(x) степени n старшим коэффициентом 1, у многочлена точная верхняя

грань абсолютных значений на интервале -1£x£1 наименьшая. Так как верхняя грань Tn(x)=1, óêàçàííàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ðàâíà . Практическое задание На практике нам нужно было изучить приближение нашей функции полиномами Тейлора. Как уже упоминалось выше, многочлены Тейлора легко вычислять, а так же превращать в степенные ряды. В этом мы и убедились на практике.

Ниже представлена таблица коэффициенты первых 12-и полиномов Чебышева, а также таблица коэффициентов перед полиномами Чебышева, выражающие первые 12 степеней х. Эти данные мы получили, используя программы на страницах В этих программах использовались следующие алгоритмы: I.    Преобразование коэффициентов полинома Чебышева в коэффициенты традиционного многочлена. 1) Вводим коэффициенты a0, a1, …, an многочлена T(x) и образуем

массив ai. 2) Для j=2, 3, …, n и k=n, n-1, …, j в первом случае поднимаясь, а во втором спускаясь, проводим преобразование коэффициентов по следующим формулам: а) ak-1=ak-2-ak б) ak=2ak В результате получаем коэффициенты полинома Pn(x) II. Преобразование коэффициентов полинома Pn(x) в коэффициенты полинома Tn(x) 1) Вводим коэффициенты полинома Pn(x) — аi 2) Для j=n, n-1, …, 2 и k=j, j+1, …, n в первом случае спускаясь, а во втором поднимаясь, проводим преобразование

коэффициентов по следующим формулам: а) ak=ak/2 б) ak-2=ak-2+ak ñ) a0=2a0 В результате получим коэффициенты полинома Тn(x). Любопытно было бы узнать, какую ошибку мы получаем при разложении степенной функции по полиномам Чебышева. Для этого, используя выше описанные алгоритмы, я сначала представлял функцию y=xn (где n брал от 1 до 10) через полиномы Чебышева (Tn), а затем чтобы оценить ошибку чебышевское разложение снова превращал в многочлен.

Выполнив эти операции, я получил достаточно интересные результаты. Для нечётных n ошибка настолько мала, что её едва можно различить на графиках (стр. ). Для чётных же степеней мы наблюдаем смещение графика, полученного в результате преобразования, вниз относительно оригинала. Это можно объяснить следующим образом. За смещение графика несёт ответственность коэффициент перед x0. Вспомним алгоритмы, они построены так, что каждый