Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения — страница 4

  • Просмотров 2597
  • Скачиваний 232
  • Размер файла 179
    Кб

дифференцирования подинтегральной функции по параметру. ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула : (3) С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее

аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу. ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G. Разложение функции

комплексного переменного в ряды. Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора : Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то: (2) – разложение в ряд Тейлора. Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z0 |<R, где R – радиус сходимости ряда (2).

Функция f (z), которая может быть представлена в виде ряда (2) является аналитической функцией. Неаналитическая функция в ряд Тейлора не раскладывается. (3) (4) (5) Причем | Z | < R, R ® ¥ . Формулы ЭЙЛЕРА. Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix; (6) Аналогично взяв Z = - ix получим : (7) Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера : (8) В общем случае : (9) Известно, что : (10) Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и

гиперболическими косинусами и синусами: Ряд ЛОРАНА. Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд другим путем. ТЕОРЕМА 1. Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z0| < R раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0. Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R. Возьмем в круге

радиуса r точку Z, а на границе области точку z , тогда f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе. Выполняется условие для существования интеграла Коши : (13) (11) Поскольку можно представить как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем (12) Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на 1/(2pi) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим : слева интеграл (13) который