Hpor — страница 11

  • Просмотров 5598
  • Скачиваний 82
  • Размер файла 40
    Кб

утверждение о промежутках убывания функции. 8)Функция косинус имеет максимумы, равные 1, в точках 2ПиR, где RZ. Функция косинус имеет минимумы, равные –1, в точках Пи+2ПиR, где RZ. Покажем, что функция y=cosx имеет максимумы в точках 2ПиR, где RZ. Замечая, что cosx=sin(Пи/2 + х), найдём точки максимума функции y=sin(Пи/2+x). Её точки максимума Пи/2 + х=Пи/2+2ПиR, где RZ, т.е. x=2ПиR, где RZ. Максимум функции косинус равен 1. Аналогично проводятся рассуждения о

точках минимума. 9)Функция косинус непрерывна на всей области определения.10) Функция косинус дифференцируема в каждой точке области определения; производная функции косинус вычисляется по формуле (cosx)’=-sinx. Билет №15 1.Если производная функции равна 0 на некотором промежутке, то эта функция постоянна на этом промежутке. Если g(x)=0 на некотором промежутке то касательная к графику функции y=g(x), например g(x)=6 в каждой точке данного

промежутка параллельна оси ОХ. 2.Если f- непрерывная и неотрицательная функция на отрезкеа;b, то площадь соответствующей криволинейной трапеции можно выч-ть по формуле S=F(b)-F(a) Док-во: Пусть y=S(x) –площадь криволинейной трапеции, имеющей основание a;x где xа;b, заметим что S(a)= 0 S(b)=S Покажем что y=S(x)-первообразная ф-ция y=f(x) т.е. S(x)=f(x) что бы найти производную ф-ции y=S(x), воспользуемся опр-ем производной: а) зададим преращение ∆x

(пусть ∆x 0) б) найдем приращение ф-ции ∆S=S(x+∆x)-S(x) в) составим соотношение ∆S/∆x=S(x+∆x)-S(x)/ ∆x г) выясним чему равен предел отношения при ∆x0Разность S(x+∆x)-S(x) равна площади криволинейной трапеции с основанием x; x+∆x Если ∆x0 то эта площадь приблизительно равна площади прямоугольника f(x)* ∆x т.е. S(x+∆x)-S(x) f(x) * ∆x Имеем S(x+∆x)-S(x)/ ∆x f(x) При ∆x0. Этим показано что S(x)=f(x) 3)Равенство S(x) =f(x) означает что S- первообразная функцииf на

заданном промежутке. 3)По основному св-ву первообразной имеем F(x)=S(x)+C, где F- какая-либо первообразная для f. При x=a получим ,что F(a)=S(a)+C т.е. C=F(a). При x=b имеем F(b)=S(b)+F(a) Следовательно S=S(b)=F(b)-F(a) Билет №16 1)Пусть задана функция y=f(x), дифференцируемая в каждой точке промежутка I, точки a и b принадлежат этому промежутку. На интервале (a;b) найдётся такая точка с, для которой выполняется равенство f’(x)= f(b)-f(a)/b-a. Геометрически этот факт можно

истолковать следующим образом. Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором промежутке. Точки a и b принадлежат этому промежутку; через точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)) проведена секущая. Тогда на интервале (a;b) найдётся такая точка с, что угловой коэффициент касательной, проведённой через точку (с; f(c)), будет равен угловому коэффициенту секущей АВ (рис 55). 2)Функция заданная формулой f(x)=x^a, называется степенной. Свойства степенной функции при