Геометрия Лобачевского — страница 4

  • Просмотров 4052
  • Скачиваний 348
  • Размер файла 1569
    Кб

изображать линии изогнутыми. И если в дальнейшем будут появляться всё более и более странные вещи, то это только хорошо – мы скорее наткнемся на долгожданное противоречие. Лобачевский доказывает (всё в том же предложении о неверности пятого постулата), что две параллельные прямые неограниченно сближаются друг с другом в сторону параллельности, но в обратном направлении они неограниченно удаляются друг от друга (рис.7,а). А две

расходящиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они неограниченно удаляются друг от друга (рис. 7,б). Это очень похоже на то, о чём писал Лежандр, но мы уже знаем, что здесь пока ещё нет никакого противоречия. Затем Лобачевский рассматривает две параллельные прямые b и c и берёт на прямой b движущуюся точку М, удаляющуюся в сторону обратную параллельности (рис. 8). В каждом положении точки М он

восставляет перпендикуляр p к прямой b до его пересечения с прямой с. длина перпендикуляра непрерывно возрастает при движении точки М, и ,когда она попадает в положение Q, длина перпендикуляра становится бесконечной. Точнее говоря, перпендикуляр р, восставленный к прямой b в точке Q, параллелен прямой с (рис. 9,а). Построив прямую с′ симметричную относительно перпендикуляра р, получим три прямые – b, c и c′, которые попарно

параллельны друг другу (рис. 9, б). Возникает своеобразный «бесконечный треугольник»: у него каждые две стороны параллельны друг другу, а вершин совсем нет (они как бы находятся в бесконечности; рис. 10). Это уже никак не согласуется с привычными представлениями о расположении прямых линий! Но противоречия и здесь нет. Тогда Лобачевский предпринимает попытку использовать могущество формул. Применяя выведенную им функцию П(х), он

получает зависимости, позволяющие по сторонам треугольника вычислять его углы. И оказывается что в любом треугольнике сумма углов меньше 180˚. Значит в четырёхугольнике Саккери (если его разбить диагональю на два треугольника; рис. 11) сумма углов меньше 360˚. Это означает, что мы находимся в условиях гипотезы острого угла – когда в четырёхугольнике Саккери четвёртый угол φ<90º. Как будто ничего нового нет: Саккери и его

последователи долго ломали голову над гипотезой острого угла, но противоречий так и не нашли. Однако Лобачевский оказался теперь намного богаче: он имел формулы, выражающие зависимости между сторонами и углами любого треугольника. Пользуясь своими формулами, Лобачевский доказал: если известны углы треугольника, можно однозначно вычислить его стороны. Совсем странно! Ведь существуют подобные треугольники, в которых углы