Геометрия Лобачевского — страница 3

  • Просмотров 4056
  • Скачиваний 348
  • Размер файла 1569
    Кб

пересекаются, то должны находится на ограниченном расстоянии друг от друга на своём протяжении. Не правда ли убедительно? Однако на самом деле это просто другая аксиома: она следует из пятого постулата, и, в свою очередь, из неё вытекает справедливость пятого постулата. В начале XIX в. в «сражение» вступил русский математик профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. Он был исключительно талантлив и

настойчив. Первое время Лобачевский шёл тем же путём что и его предшественники, т.е. пытался рассуждать от противного. Допустив, что пятый постулат неверен, а остальные аксиомы справедливы, мы рано или поздно придем к противоречию. Этим противоречием он и будет доказан. Итак, допустим, что пятый постулат неверен: через точку А, не принадлежащую прямой b (рис. 5, а), можно провести более чем одну прямую, которая не пересекается с b.

Пусть прямые a′ и a″ не пересекаются с b. При их расположение, как на рисунке, будем поворачивать прямую a′ по часовой стрелке. Тогда найдётся прямая c′, которая «в последний раз» не пересекается с b. Значит, прямые, получившиеся из с′ при повороте по часовой стрелке (на сколь угодно малый угол),будут пересекать прямую b, а прямые, получающиеся из с при малом повороте в обратном направлении, не будут пересекать b. Иначе

говоря, среди всех прямых, проходящих через точку А, прямая с′ отделяет пересекающие b прямые от не пересекающих её. Сама прямая с′ не пересекает b. Такая же картина наблюдается и для прямой с″, симметричной с′ относительно перпендикуляра АР, опущенного на b. Она отделяет пересекающие b от не пересекающих. Лобачевский называет прямые с′ и с″ параллельными прямой b, причём с′ параллельна b вправо, а с″

параллельна b влево. Остальные прямые, проходящие через точку А и не пересекающая прямую b ( такие, как a′ и a″ ), именуются расходящимися с прямой b. Далее, обозначим длину отрезка АР через x, а острый угол, образуемый прямой с′ или с″ с прямой АР, - через П(х) (рис. 5,б). Лобачевский вводит эти определения и обозначения, стремясь, со свойственной ему настойчивостью, узнать, что может получиться из его предположения о неверности

пятого постулата, и быстрее обнаружить желанное противоречие. На наших чертежах линии изогнуты. Но вы должны понять, что Лобачевский рассуждает именно о прямых линиях. Если отрезок АР мал, то острый угол П(х) близок к 90˚. Когда отрезок совсем мал, то, мы увидим, что прямые с′ и с″ практически сливаются, поскольку угол П(х) очень близок к 90˚(рис. 6). В целом же, в силу предположения о неверности пятого постулата, приходится