Геометрия Лобачевского — страница 2

  • Просмотров 4051
  • Скачиваний 348
  • Размер файла 1569
    Кб

этого треугольника имеет длину с/tg γ, где с = 1 м. С помощью калькулятора нетрудно подсчитать, что 1/tg γ ≈ 2,06 • 105 . Следовательно, длина катета АС составляем приблизительно 2,06 • 105 = 206 км. Угол в 1 угловую секунду достаточно ощутим (например при астрономических расчётах). Но проверить две указанные выше прямые α и β пересекаются на расстоянии206 км от прямой АВ, совсем не просто. Ведь изготовить плоский лист бумаги и линейку

длиной более 200 км не предоставляется возможным. Использовать оптические приборы? Но тогда надо будет добавить ещё один постулат: свет распространяется по прямой (а это уже физика). А если сумма углов α и β отличается менее чем на 1 угловую секунду? Как видит, пятый постулат Евклида не так уж прост и убедителен. Сложность формулировки пятого постулата и его неубедительность привели к тому, что очень многие математики, жившие

после Евклида, старались исключить этот постулат из списка аксиом, т.е. доказать его как теорему с помощью остальных аксиом Евклида. В «сражениях» с пятым постулатом особенно далеко продвинулись Ламберт, Саккери и Лежандр. Итальянец Саккери рассматривал четырёхугольник с тремя прямыми углами (рис. 3). Четвёртый угол (обозначим его φ) мог быть прямым, тупым или острым. Саккери установил, что гипотеза прямого угла, т.е.

утверждение о том, что четвёртый угол φ всегда равен 90º, позволяет доказать пятый постулат. Иначе говоря, гипотеза прямого угла представляет собой новую аксиому, пятому постулату. Гипотезу тупого угла, допускающую существование четырёхугольника, у которого четвёртый угол φ тупой, Саккери отверг при помощи строгого рассуждения. Однако доказать, что гипотеза острого угла неверна не смог ни Саккери, ни его последователи.

Неприступная «крепость» пятого постулата так и осталась неприступной. Очень интересны исследования французского математика Адриена Мари Лежандра. Но ни одна из них не привела к успеху. Вот краткое описание одной из попыток Лежандра. Пусть a и b – две прямые, перпендикулярны одной и той же третьей прямой и пересекающие её в точках А и В. Эти две прямые a и b не пересекаются. Допустим, что пятый постулат Евклида неверен и через А

можно провести ещё одну прямую a′, так же не пересекающую b (рис 4.) Симметричная ей ( относительно АВ) прямая а″ также не пересекает прямую b. Рассматривая два получающихся острых угла α′ и α″ (симметричных друг другу), Лежандр строго доказывает, что прямая a как при продолжении её вправо, так и при продолжении её влево всё более удаляются от прямой b. Но прямые a и b не могут вести себя подобным образом: если они не