Евклид жизнь и сочинения — страница 3

  • Просмотров 2887
  • Скачиваний 247
  • Размер файла 11
    Кб

Евклида привёл пифагорейца к установлению несоизмеримости стороны и диагонали квадрата ( т.е. иррациональности числа √2 ). Это открытие существенно повлияло на дальнейшее развитие и математики, и философии. Оно показало, что ложен основной принцип пифагорейцев «всё есть число». Они считали, что всякую величину можно выразить числом ( натуральным ) или отношением чисел, но оказалось, что диагональ квадрата со стороной 1 не

выражалась отношением чисел. Теэтет Афинский развил этот подход и доказал, что квадратные корни из квадратных чисел рациональны, а из неквадратных – иррациональны. Кроме того, кубические корни из кубических чисел рациональны, а из некубических – иррациональны. Более того, он классифицировал некоторые типы иррациональностей, которые можно построить с помощью циркуля и линейки. Геометрическая алгебра. Важным достижением

античной математики стало создание так называемой геометрической алгебры, зачатки которой имелись ещё у вавилонян. Мы знаем, что в Древней Греции не было возможности записывать буквами алгебраические формулы и уравнения. Кроме того, большие проблемы возникали при операциях с натуральными числами. Античные математики обошли эту проблему, переведя все алгебраические выражения первой и второй степени на геометрический язык.

Все построения были планиметрическими. Видимо, именно алгебраическими потребностями объясняется столь бурное развитие планиметрии в античности. Платоновы тела. В последней, XIII книге «Начал» описываются построение и свойства правильных многогранников – тетраэдра, гексаэдра, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра. И Евклид не просто описал правильные многогранники, но и исследовал их свойства. Он нашёл отношения длин рёбер всех

правильных многогранников к диаметру описанной около многогранника сферы. Более того, он предложил способы построения правильных многогранников, вписанных в сферу данного диаметра. Учение о гармонии. Ещё пифагорейцы знали, что если высоты звука относятся как небольшие целые числа, то сочетание звуков будет приятным, гармоничным. Так, отношение высот 1:2 даёт музыкальный интервал, называемый октавой, отношение 2:3 – даёт квинту,

3:4 кварту. Для того чтобы повысить на квинту звук, например, колеблющейся струны, надо уменьшить её длину на 1/3, заставив звучать оставшиеся 2/3 струны, при этом частота колебаний струны увеличится в 1/(2/3) раза. А для повышения звука на кварту надо извлечь звук из 3/4 струны, т.е. частота колебаний будет в 4/3 раза выше частоты колебаний основного тона. Исходя из этого, можно построить музыкальную шкалу. Первым точными расчётами