Евклид жизнь и сочинения — страница 2

  • Просмотров 2888
  • Скачиваний 247
  • Размер файла 11
    Кб

сочинения о конических сечениях ( т.е. эллипсе, гиперболе, параболе ) и «О поверхностных местах», которые до нас дошли. В арабском переводе нам известно сочинение Евклида «О делении фигур» Но главным трудом Евклида, несомненно, являются «Начала» ( в 13 книгах ). Он собрал и систематизировал современную ему математику, строго дедуктивно изложив её в этом объёмном труде. Ниже описаны наиболее интересные, с точки зрения современной

математики, достижения Евклида и его предшественников, изложенные в «Началах». Теорема Евклида. Предложение, о котором идёт речь, изложено в IX книге «Начал». Оно формулируется так: множество простых чисел бесконечно. Доказательство очень просто: если бы множество всех простых чисел было конечным, то, перемножив их все и добавив единицу, мы получили бы новое число, которое не делится ни на одно из известных простых чисел и,

следовательно, простое. Алгоритм Евклида. Всем известен алгоритм Евклида нахождения общей меры отрезков. Он состоит в следующем. Пусть есть два отрезка неравной длины A и В, причём, например, А больше В. Отложим отрезок В на отрезке А столько раз, сколько получится( рис. 1 ). Тогда А=n0B + C1, где C1 < В. Теперь берём отрезки В и C1 и повторяем с ними ту же операцию: В=n1C1 + C2, где C2 < C1 ( рис. 2 ). А С1 В В В n0 раз ( рис. 1 ) В 1 С1 С2 n1 раз. ( рис. 2 )

Повторяя эту операцию много раз, мы либо когда-нибудь получим нулевой отрезок-остаток Cm= nm+1Cm+1 + 0 отрезок Cm+1 окажется общей мерой отрезков А и В, либо процесс откладывания отрезков никогда не закончится. В последнем случае говорят, что отрезки А и В несоизмеримы ( т.е. не имеют общей меры ). Числа n0, n1, … называются «неполными частными». Если обнаружена общая мера величин А и В и она равна некоторой величине D, то А= λD, B=μD и

отношение А и В есть отношение λ к μ. Интересно, что Евклид построил алгоритм отдельно для чисел ( т.е. натуральных чисел ) и отдельно для отрезков ( величин ). Итак, алгоритм Евклида позволяет не только находить общую меру ( НОД ) двух чисел, сокращать на НОД дроби, но и «округлять» рациональные числа. Теория отношений Евдокса. В «Началах» изложена другая теория отношений, созданная Евдоксом. Она отвечала на вопрос: как можно

сравнивать отношения чисел и что происходит с ними в результате арифметических операций? Два отношения a/b и c/d считаются равными, если для любых натуральных чисел М, N выполняются условия: aM > bN cM > dN, aM = bN cM = dN, aM < bN cM < dN. Такой подход к сравнению отношений был революционным прорывом в построении теории действительного числа ( пока только для рациональных положительных чисел ). Теория иррациональностей. Видимо, именно алгоритм