Элементарные конформные отображения

ЕЛЕЦ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ. КУРСОВАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Тема: «Элементарные конфортные отображения» Выполнила: студентка группы М-31 физико-математического факультета Е.Г. Петренко Научный руководитель: О.А. Саввина 1998 г. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек точку (или точки) со значениями в множестве Задание функции

эквивалентно заданию двух действительных функций и тогда , где 1. - линейная функция. Определена при всех . Функция сжимает) ее в раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину 2. 3. - показательная функция. По определению ; Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. , 4. натуральный логарифм). По определению: называется главным значением - бесконечно-значная функция, обратная к 5. 6. Тригонометрические

функции По определению, ; 7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно: , Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости. Задачи с решением. 1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: Решение. По определению, Найти суммы: 1) 2) Решение. Пусть: ; Преобразуя, получим: 3. Доказать, что: 1) 2) 3) 4) Доказательство: 1) По определению, 2) 3) ; Выразить через

тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) Решение: и, учитывая результаты предыдущего примера, получим: Напомним, что 2) 3) , , , . Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: ; ; Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь: ; ; ; ; Вычислить: 1) 3) ; 5) 2) 4) ; 6) ; Решение. По определению, 1) 2) 3) 4) 5) 6) Найти все значения следующих

степеней: 1) 2) ; 3); 4) Решение. Выражение для любых комплексных и 1) 2) 3) 4) 8. Доказать следующие равенства: 1) 2) 3) Доказательство: 1) , откуда Решив это уравнение, получим и 2) 3) Отсюда