Экзаменационные билеты по геометрии (9 класс, шпаргалка) — страница 4

  • Просмотров 6789
  • Скачиваний 329
  • Размер файла 14
    Кб

прямых MN и AC и секущей AB. Из их равенства следует параллельность прямых MN и AC: MN║AC. Т: доказана. Определение: средней линией ∆ называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. (2) Площадь S круга радиуса R выражается формулой S=πR2. Для вывода этой формулы докажем утверждение: Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус: S=½ l•R. Представлен круг радиуса R с центром O, а

также 2 правильных n-угольника – вписанный в окружность (A1A2…An) и описанный около неё (A1’A2’…An’). Площадь S заключена между площадями Sn вписанного и Sn’ описанного n-угольников: Sn<S<Sn’ Площадь вписанного n-угольника выражается формулой Sn=½ Pnr, где Pn – его периметр, r – радиус вписанной в него окружности. Из рассмотрения прямоугольного ∆A1BO получаем OB=A1O cosÐA1OB или r=К cos180º/n (A1O=R; ÐA1OB=½ ÐA1OA2=180º/n) Отсюда Sn=½PnRcos180º/n.

Площадь описанного n-угольника выражается формулой Sn’=½Pn’•R где Pn’ – его периметр. При неограниченном увеличении числа сторон n-угольников (n→∞) и в периметре приближаются к длине l окружности. Pn→l, Pn’→l n→∞ n→∞ угол 180º/n приближается к 0, а его cos к 1: ( (cos(180º/n))/(n/(n→∞)) )→l Следовательно, Sn→½ lR, Sn’→½ lR n→∞ n→∞ Это означает что площадь S круга ограничена с двух сторон

последовательностями Sn и Sn’, стремящимися при n→∞ к одному и тому же пределу. Этот предел и принимается за площадь круга: S=½ l•R. Заменяя длину окружности l на 2πR получаем S=π•R2 Билет 11. (1) Окружностью, описанной около ∆, называется окружность которая проходит через все вершины ∆. Рассмотрим теорему.Т: около любого ∆ можно описать окружность. Д: На рисунке∆АВС; ОК,OL и ОМ − серединные перпендикуляры к его

сторонам. Докажем, точка О их пересечение равноудалена от вершин А, В и С. Соединим точку О с вершинами и рассмотрим ∆АОК и ∆ВОК: ∆АОК=∆ВОК по первому признаку равенства треугольников (АК=КВ по условию, ОК - общая сторона ÐВКО=ÐАКО=90°). Отсюда АО=ВО. Аналогично доказываем, что ВО=СО. Следовательно АО=ВО=СО, т.е точка О равноудалена от вершины ∆АВС. Значит все вершины ∆ лежат на окружности с центром в точке О и

радиусом, равным ОА. Эта окружность является окружностью, описанной около ∆АВС.Т: доказана. (2) Равенство справедливое при всех допустимых значениях входящих в него в переменных, называется тождеством. Справедливы следующие тригонометрические тождества: (1) sin2α +cos2α=1; (2) 1=tg2α = 1/cos2 α; 3) l+ctg2•α=1/sin2α. Докажем тождество 1. Для этого рассмотрим тригонометрическую окружность, радиус R, который равен 1 (R=1), а центр O расположен