Экзаменационные билеты по геометрии (9 класс, шпаргалка)

Билет 1. (1) Первый признак равенства треугольника по двум сторонам и углу между ними формулируется в виде теоремы: Т: Если две стороны и угол между ними одного ∆ соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого ∆, то такие треугольники равны. Д: Пусть у треугольников ABC и A1B1C1 AB=A1B1, AC=A1C1, ÐA=ÐA1. Наложим ∆ABC на ∆A1B1C1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A1, а стороны AB и AC легли соответственно на лучи A1B1 и

A1C1. Это возможно, поскольку ÐA=ÐA1. Так как AB=A1B1 и AC=A1C1, то сторона AB совместится со стороной A1B1, а сторона AC – с A1C1, а значит совместятся точки B и B1, C и C1, следовательно, совместятся стороны BC и B1C1. Таким образом треугольники ABC и A1B1C1 совместятся, следовательно они равны: ∆ABC=∆A1B1C1. (2) Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Четырёхугольник ABCD, у которого сторона

AB║DC, а сторона BC║AD. Следовательно ABCD –параллелограмм. Свойства: 1) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны (AB=DC, BC=AD, ÐA=ÐC, ÐB=ÐD). 2) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (BO=OD, AO=OC). Докажем второе свойство. Д: ABCD – параллелограмм, BD и AC – диагонали, О – точка их пересечения. Доказать: BO=OD и AO=OC. Д-во: ∆AOB=∆COD по стороне и двум прилежащим к ней углам (AB=DC как

противоположные стороны параллелограмма, ÐABO=ÐCDO, ÐBAO=ÐDCO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущих BD и AC). Поэтому BO=OD, AO=OC, ч.т.д. Признаки параллелограмма: 1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. 2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. 3) Если в четырёхугольнике диагонали

пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он параллелограмм. Билет 3. (1) Третий признак равенства треугольников по трем сторонам формулируется в виде теоремы. Т: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Д: Пусть ABC и A1B1C1 – треугольники, у которых AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1. Наложим ∆ABC на ∆A1B1C1 так, чтобы их стороны AC и A1C1 совместились, а вершины B