Экстремумы функций многих переменных — страница 6

  • Просмотров 10409
  • Скачиваний 584
  • Размер файла 236
    Кб

уравнения связи j(x, y) = 0 имеем y`=-j`x/j`y, а из уравнения линии уровня y`=-fx`/fy`. Приравнивая производные и произведя простейшее преобразование мы получим уравнение Приведенное рассуждение теряет силу, если линия уровня такова, что во всех ее точках fx`=0, fy`=0. Можно рассмотреть, например, функцию z = 4-x2 и линию уровня x=0, соответствующую значению z = 4. Можно искать условный экстремум функции f(x,y,z) при двух уравнениях связи: j1(x, y, z) = 0 и j2(x, y, z) = 0

Эти уравнения определяют линию в пространстве. Таким образом задача сводится к отысканию такой точки линии, в которой функция принимает экстремальное значение, причем сравниваются значения функции только в точках рассматриваемой линии. Метод множителей Лагранжа в этом случае принимается следующим образом: строим вспомогательную функцию Ф(x, y, z) = f(x, y, z)+l1j1(x, y, z) +l2j2(x, y, z), где l1 и l2- новые дополнительные неизвестные, и состовляем

систему уравнений для отыскания экстремумов этой функции. Добавляя сюда два уравнения связи получаем систему уравнений с пятью неизвестными x, y, z, l1, l2. Искомыми точками условного экстремума могут быть только те, координаты х, у, z которых являются решением этой системы. Список использованной литературы: А.Ф. Бермант, И.Г. Абрамович. Краткий курс математического анализа. Шипачев Учебник высшей математики