Экстремумы функций многих переменных

  • Просмотров 10311
  • Скачиваний 584
  • Размер файла 236
    Кб

Министерство общего и высшего образования Российской Федерации Иркутский Государственный Технический Университет Кафедра ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Реферат На тему: “Экстремумы функций многих переменных” Выполнил: Студент группы ТЭ-97-1 Мартынов Ф.О. Проверила: Преподаватель кафедры Седых Е.И. Иркутск 1998 План реферата: 1. Понятие экстремума........................... 2 2. Необходимые условия экстремума.. 3 3. Достаточные условия экстремума... 6 4.

Локальные экстремумы.................... 8 5. Условные экстремумы...................... 9 Экстремумы функций многих переменных. Для начала рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума. Начнем с понятия экстремума: Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными Определение: Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума) функции есть соответственно наибольшее или наименьшее

значение функции в некоторой окрестности точки При этом значение называется экстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным). Говорят также, что функция имеет в точке экстремум (или достигает в точке экстремума). Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку.

Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума показан на рис. 1. Теперь установим необходимые условия, при которых функция достигает в точке экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции. Необходимый признак экстремума: Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: Доказательство: Допустим, что

функция имеет в точке экстремум. Согласно определению экстремума функция при постоянном как функция одного достигает экстремума при . Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции при т. е. Аналогично функция при постоянном как функция одного достигает экстремума при Значит, Что и требовалось доказать. Точка координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции