Экономико математические методы и модели 3 — страница 8

  • Просмотров 554
  • Скачиваний 12
  • Размер файла 361
    Кб

зависимости от выделенной ему суммы x ≤ 100.000 (возможные значения x и приведены в таблице). Необходимо так распределить средства, чтобы максимально увеличить выпуск продукции производства в целом. ЦЕХ № 1 ЦЕХ № 2 x 20 40 60 80 100 x 20 40 60 80 100 9 17 29 38 47 11 34 46 53 75 ЦЕХ № 3 ЦЕХ № 4 x 20 40 60 80 100 x 20 40 60 80 100 13 28 37 49 61 12 35 40 54 73 ТРЕБУЕТСЯ: 1. Основываясь на принципах динамического программирования, построить математическую модель поставленной задачи в виде

функциональных уравнений Беллмана (числовые данные взять из таблиц). 2. Найти оптимальное распределение средств, обеспечивающее максимальный прирост выпуска продукции. PЕШЕHИЕ. 1. Системой S в данном случае является предприятие из 4-х цехов, в которое вложена сумма 100.000 ед. Состояния и управления системы S однозначно взаимосвязаны – это способы распределения суммы между цехами. Для осуществления инвариантного погружения задачи

будем считать, что вместо суммы 100.000 ед. вкладывается сумма y: 0≤у≤100.000. Состояния системы искусственно разобьем на этапы: начальный (нулевой), первый, второй и третий этапы соответственно означают, что сумма y распределяется между четырьмя цехами, тремя цехами, двумя цехами и вся сумма y выделяется одному цеху. Нумерацию этапов удобнее проводить в обратном порядке: третий этап – m = 1, второй этап – m = 2, первый этап – m = 3, нулевой

этап – m = 4. Тогда функция Беллмана, имеющая смысл максимальной прибыли при распределении суммы y между m цехами, запишется в виде: Если при m = 1 … k–1 функция B(y, m) уже построена, то функциональное уравнение Беллмана для данной задачи принимает вид: Пpи m = 1 дополнительно имеем: 2. При m = 1 функция Беллмана уже построена, т.е. y 20 40 60 80 100 B(y, 1) 9 17 29 38 47 При m = 2 уравнение из функционального уравнения Беллмана имеет вид: Так как функции и заданы

таблично, то для определения максимума функции при каждом y составляем таблицу значений этой функции: x y 0 20 40 60 80 100 B(y, 2) 20 0 + 9 11 + 0 11 20 40 0 + 17 11 + 9 34 + 0 34 40 60 0 + 29 11 + 17 34 + 9 46 + 0 46 60 80 0 + 38 11 + 29 34 + 17 46 + 9 53 + 0 55 60 100 0 + 47 11 + 38 34 + 29 46 + 17 53 + 9 75 + 0 75 100 Подчеркнутые значения являются максимальными в строке, т.е. являются значениями функции Беллмана B(y, 2). Они выписаны в предпоследнем столбце. В последний столбец выписаны значения x, при которых достигается

максимум функции Эти значения обозначены и их можно считать управлениями. Смысл – средства, выделяемые второму цеху, при оптимальном распределении суммы y между двумя цехами. Аналогично, при m = 3 Составляем таблицу значений функции x y 0 20 40 60 80 100 B(y, 3) 20 0 + 11 13 + 0 13 20 40 0 + 34 13 + 11 28 + 0 34 0 60 0 + 46 13 + 34 28 + 11 37 + 0 47 20 80 0 + 55 13 + 46 28 + 34 37 + 11 49 + 0 62 40 100 0 + 75 13 + 55 28 + 46 37 + 34 49 + 11 61 + 0 75 0 Как и выше – сумма средств, выделяемых третьему цеху, при оптимальном