Экономико математические методы и модели 3 — страница 6

  • Просмотров 548
  • Скачиваний 12
  • Размер файла 361
    Кб

0,4 0,3 0,8 РЕШЕНИЕ: Одним из участников рассматриваемой ситуации является фермер, который должен вносить удобрения в почву для получения хорошего урожая пшеницы. Если описанной ситуации придать игровую схему, то фермер выступит в ней в качестве сознательного игрока А, заинтересованного в максимизации прибыли с 1 гектара земли. Вторым участником является в буквальном смысле природа (игрок П), то есть внешние природные условия. Так

как фермер на 1 гектар земли может вносить разное количество центнеров удобрений, то чистыми стратегиями игрока А будут следующие стратегии: – А1: вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли; – А2: вносить 4 ц. удобрений на 1 гектар земли; – А3: вносить 6 ц. удобрений на 1 гектар земли. Природа может реализовать одно из трех состояний: П1, П2, П3. Таким образом, платежная матрица игры будет иметь размер 3х3. Вычисляем значении прибыли по

формуле: , . h11 = 9*5 – 4*2 = 37; h23 = 5*9 – 4*4 = 29; h12 = 9*9 – 4*2 = 73; h31 = 3*13 – 4*6 = 15; h13 = 9*6 – 4*2 = 46; h32 = 3*15 – 4*6 = 21; h21 = 5*10 – 4*4 = 34; h33 = 3*11 – 4*6 = 9; h22 = 5*12 – 4*4 = 44; Итак, платежная матрица принимает вид (таблица 4.1) 37 73 46 34 44 29 15 21 9 В платежной матрице нет доминируемых стратегий игрока А, поэтому матрица не требует упрощений. а) для определения оптимальной стратегии игрока А по критерию Байеса вычислим среднее значение (математическое ожидание) выигрыша при

использовании каждой из возможных стратегий по формуле: . Получаем: = 37*0,3 + 73*0,4 + 46*0,3 = 54,1; = 34*0,3 + 44*0,4 + 29*0,3 = 36,5; = 15*0,3 + 21*0,4 + 9*0,3 = 15,6. Оптимальной по критерию Байеса является стратегия , так как именно ей соответствует наибольшее из чисел : max { 54.1 ; 73 ; 46 } = 73 ; Таким образом, располагая информацией о возможных состояниях природы, наиболее выгодным для фермера будет использование стратегии А1 – вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли. Среднее

значение ожидаемой прибыли в этом случае составит 54,1 ден. ед. б) для определения оптимальной стратегии игрока А с использованием максимаксного критерия, применим формулу: . Получаем: m1 = {37; 73; 46} = 73; m2 = {34; 44; 29} = 44; m3 = {15; 21; 9} = 21; Оптимальной по максимаксному критерию является стратегия , так как именно ей соответствует наибольшее из чисел : max { 73 ; 44 ; 21 } = 73 ; Таким образом, в расчете на самое благоприятное стечение обстоятельств, наиболее

выгодным для домовладельца будет использование стратегии – вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли. Прибыль, потраченная при этом от продажи зерна, составит 73 ден. ед. Определим оптимальную стратегию игрока А по критерию Вальда: w1 = min {37; 73; 46} = 37; w2 = min {34; 44; 29} = 29; w3 = min {15; 21; 9} = 9. max { 37 ; 29 ; 9 } = 37 ; Следовательно, оптимальной по критерию Вальда является стратегия – вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли. При этом минимальная прибыль