Экономико- математические методы и прикладные модели (вариант 10)

  • Просмотров 2856
  • Скачиваний 526
  • Размер файла 54
    Кб

1. Решите графическим методом задачу линейного программирования. Найти максимум и минимум функции f(X) при заданных ограничениях. f(x1,x2) = 2x1+x2® max, min x1+x2 ³ 3 2x1 + 3x2 £ 15 2x1 – 2,5x2 £ 10 0£x2£4 x1³0 1. Построим ОДР задачи (рис. 1). Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат. Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением нижних

полуплоскостей с граничными прямыми:        I.      x1+x2 = 3     II.      2x1 + 3x2 = 15 III.      2x1 – 2,5x2 = 10 IV.      x2 = 4 Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой многоугольник OBFCDAE (заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР). 2. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину

Ñ(2,1) с началом координат О (0,0). 3. Построим некоторую линию уровня 2x1 + 1x2 = а. Пусть, например, а = 0. На рис.1 такой линии уровня отвечает прямая Х, перпендикулярная вектор-градиенту. 4. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня Х в направлении вектор-градиента, а при минимизации — в противоположном направлении. Предельными точками при таком движении линии уровня Х являются соответственно точка A и точка B. Далее она

выходит из ОДР. X F B E D C Рис. 1 Определим координаты точки A, являющейся точкой пересечения третьей прямой и оси абсцисс: 2x1 – 2,5x2 = 10 х2 = 0 х1 = 5 Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х1 = 5; x2 = 0 максимальное значение, равное f(x1, х2) = 5´2 + 0´1 = 10. Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения первой прямой и оси ординат: x1+x2 = 3 х1 = 0 х2 = 3 Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х1 = 0; x2 = 3 минимальное значение, равное f(x1, х2) = 0´2 +

3´1 = 3. 2.1. min f(X) = x1 - 4x2 x1 + x2 ≤ 5 3x1 - x2 ≤ 3 x1,2 ≥ 0 Решение. После приведения к канонической форме получим f(X)=x1 -4x2 +0*x3 +0*x4 максимизируется Ограничения приобрели следующую форму: 1*x1 +1*x2 +1*x3 +0*x4 =5 3*x1 -1*x2 +0*x3 +1*x4 =3 В результате получим следующую симплекс-таблицу: Ci/Cj B Базис А1 А2 А3 А4 Q 0 5 А3 1 1 1 0 5 0 3 А4 3 -1 0 1 1 дельта -1 4 0 0 0 4 А3 0 1,33333 1 -0,33333 1 1 А1 1 -0,33333 0 0,33333 дельта 1 0 3,66 0 0,33 решение достигнуто при х1 = 1 и х2 = 0 и равно 1. 2.2. max f(X) = (x1 - 24x2 + 12x3) -x1 - 3x2 + 2x3 ≤ 1