Движение — страница 4

симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О. Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X' и Y', что X'Y' = -XY. Доказательство. Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y

отобразились на X' и Y'. Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX' = -OX, OY' = -OY. Вмес2те с тем XY = OY - OX, X'Y' = OY' - OX'. Поэтому имеем: X'Y' = -OY + OX = -XY. Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия. Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если

точка А отображается на А', то центр симметрии это середина отрезка AA'. 22 6. Зеркальная симметрия (отражение в плоскости). Определение 1. Точки A и A' называются симметричными относительно плоскости (если отрезок AA' перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости (считается симметричной самой себе относительно этой плоскости. Две фигуры F и F' называются симметричными относительно данной плоскости, если

они состоят из точек, попарно симметричных относительно этой плоскости, т.е. если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре. Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости (а плоскость (плоскостью симметрии. 2. Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно

данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией). Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением. См. Доказательство 1. Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением. Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не

лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему. 7. Поворот вокруг прямой. Для более четкого представления о повороте вокруг прямой следует вспомнить поворот на плоскости около данной точки. Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол