Динамическое представление данных — страница 2

математическая модель предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда : ì 0, t < 0, s(t) = í 0.5, t = 0, (2) î 1, t > 0. В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова : ì 0, t < t0, s(t - t0) = í 0.5, t = t0, (3) î 1, t > t0. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ. Рассмотрим

некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть {D,2D,3D,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то текущее значение сигнала при любом t можно приближенно представить в виде суммы ступенчатых функций : ¥ s(t)»s0s(t)+(s1-s0)s(t-D)+...=s0s(t)+å(sk-sk-1)s(t-kD). k=1 ·     Если теперь шаг D устремить к нулю. то

дискретную переменную kD можно заменить непрерывной переменной t. При этом малые приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы ds=(ds/dt)dt , и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда ¥ ó ds S(t)=s0 s(t) + ô s(t-t) dt (4) õ dt 0 Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести

новое важное понятие - понятие дельта-функции. ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ . Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом : 1 é x x ù u(t;x) = ----- ê s (t + ---- ) - s (t - ---- ) ÷ (5) x ë 2 2 û При любом выборе параметра x площадь этого импульса равна единице : ¥ П = ò u dt = 1 - ¥ Например, если u - напряжение, то П = 1 В*с. Теперь устремим величину x к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь,

поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при x ® 0 носит название дельта-функции , или функции Дирака[1] : d(t) = lim u (t;x) x®0 Дельта функция - интересный математический объект. Будучи равной нулю всюдю, кроме как в точке t = 0 [2] дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом. А вот так выглядит символическое изображение дельта-функции :   ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА

ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ. Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . С помощью дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности примыкающих импульсов. Если Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как : hk(t) = Sk [ s(t - tk) - s(t - tk - D) ] (6) В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t)