Дифференцированные уравнения — страница 5

  • Просмотров 6684
  • Скачиваний 496
  • Размер файла 338
    Кб

НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА 1. Данное звено описывается следующим уравнением: a1 aoy(t) =bog(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a1=1,24 ao=2 bo=4 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: T (2), где k= T= Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку p=.Получим: (T p-1)y(t)=kg(t) (3) 2. Получим передаточную функцию для апериодического звена. Воспользуемся преобразованиями

Лапласа: y(t) = Y(s) g(t)=G(s) По определению передаточная функция находится как отношение выходного сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид: T sY(s)-Y(s)=kG(s) W(s)= (4) 3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По определению аналитическим выражением переходной функции является решение уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по преобразованиями Лапласа h(t)=H(s) H(s)=W(s) Переходя к оригиналу, получим

h(t)=k×1(t) (5) Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции w(t)= или из преобразований Лапласа w(t)=w(s) w(s)=W(s)×1 W(s)= Переходя к оригиналу, получим w(t)=e×1(t) (6) 4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и временные характеристики: k=2 T =0.62 h(t)=2×1(t) w(t)=3.2e×1(t) Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t)

указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на величину 5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной функции (4) s на jw: W(s)= W(jw)= (7) W(jw)=w)+jV(w) U(w)= V(w)= 6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль частотной передаточной функции, т.е.

A(w)=½W(jw)½ A(w)= (8) Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной передаточной функции, т.е. j(w)=argW(jw) j(w)=arctgk - arctg j(w)=-arctg(-Tw) (9) Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим L(w)=20lg A(w) L(w)=20lg 7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим их численные значения. k=2 T =0.62 A(w)= j(w)=-arctg(-0.62w) L(w)=20lg U(w)= V(w)= 4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА 1. Данное звено описывается следующим

уравнением: a21 aoy(t) =bog(t) (1) Коэффициенты имеют следующие значения: a2=0,588 a1=50,4 ao=120 bo=312 Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на ao: 1 (2), где k= T1=22= Если корни характеристического уравнения для дифференциального уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T1>2T2), то оно является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения: T1=0,42 2T2=0,14 0,42>014, следовательно, данное уравнение -