Что такое стохастический резонанс? — страница 3

  • Просмотров 304
  • Скачиваний 12
  • Размер файла 83
    Кб

случайных функциях. Поскольку сейчас речь пойдет о случайной (хаотической) внешней силе, полезно предварительно обсудить этот термин детально.  Итак, что такое случайная величина, а точнее, применительно к нашей задаче - хаотично меняющаяся во времени функция? К примеру, являются ли функции, изображенные на рис.2а, случайными? Что является настоящим шумом, а что - смесью периодического сигнала с шумом? Математика, а точнее, ее

ветвь под условным названием "Теория сигнала", предоставляет четкие ответы на эти вопросы. Здесь мы опишем лишь один из подходов, а именно, как с помощью преобразования Фурье отделить периодический сигнал от шума. Пусть у нас есть функция y(t), которая как-то колеблется относительно нуля. Примеры таких функций как раз и представлены на рис.2а. Поскольку y(t) колеблется около нуля, то ее среднее значение T < y(t)> = тy(t)dt ~ 0. 0 Здесь T -

полное время наблюдения сигнала; мы будем считать, что T гораздо больше, чем характерные периоды колебаний. Символ "~ 0" означает "много меньше произведения амплитуды на T". В дальнейшем, величины, взятые в такие угловые скобки, будут означать усреднение по времени в виде представленного здесь интеграла. Давайте теперь усредним y(t), домноженную на cos(wt) с некоторой частотой w. Для разных w мы будем при интегрировании

получать разные значения. Другими словами, мы получим некую функцию, зависящую от w: f(w) = <y(t)cos(wt)>. Эта функция называется фурье-образом исходного сигнала y(t), а переход от переменной t к переменной w и есть преобразование Фурье. Глядя на фурье-образ функции, можно определить, присутствует ли в сигнале какая-либо периодическая составляющая, или же это чистый шум. Действительно, пусть наш сигнал - это чистый косинус с частотой w0: y(t) =

acos(w0t). Тогда, при вычислении мы получим f(w) ~ 0 для любых w, не равных w0, и большую величину aT/2 при w=w0. Фурье-образ f(w) в этом случае будет выглядеть, как показано на рис.2 в верхнем ряду. Если же наш сигнал есть чистый шум, то интеграл будет давать некую, приблизительно постоянную величину для любых значений w. Это и есть признак того, что перед нами так называемый "белый шум", т.е. шум, в котором равноправно присутствуют все частоты

(рис.2, средний ряд). (На самом деле, надо, конечно, работать аккуратнее, а именно, усреднять и с косинусом, и с синусом, и выделять амплитуду и фазу фурье-образа, но для наших целей это непринципиально.) Если же теперь смешать шум с периодическим сигналом, то фурье-образ будет выглядеть, как в нижнем ряду рис.2. Мы увидим, что над ровным фурье-образом белого шума будет возвышаться некая "горка". Ее положение и высота позволят