Численное интегрирование определённых интегралов — страница 5

  • Просмотров 3519
  • Скачиваний 286
  • Размер файла 82
    Кб

приближённые равенства, учитывая, что складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближённое значение: или (7) Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления произвольно, но чем это число больше, тем точнее сумма в правой части равенства (6) даёт значение интеграла. Формула Симпсона даёт самое точное значение интеграла (из классических формул приближённого интегрирования), погрешность для

этого метода находится по формуле: где Б) Без использования парабол В тех случаях, когда линия y=f(x) между x=a и x=b мало изогнута, интеграл приближенно выражается достаточно простой формулой. SHAPE * MERGEFORMAT A P C Q a p c q B b Будем считать f(x) положительной и искать площадь криволинейной трапеции aABb. Для этого разделим отрезок [a;b] точкой пополам и в точке c(c,f(c))проведём касательную к линии y=f(x). После этого разделим [a,b] точками p и g на 3 равные

части и проведём через них прямые x=p и x=q. P и Q – точки пересечения прямых с касательной. Соединив AP и BQ, получим 3 прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Сумма площадей этих трапеций равна будет примерно равна площади криволинейной трапеции aABb: Обозначим: Aa, Pp, qQ, bB – основания трапеций; n строго задано n=3 Получаем: 8) Обозначим, что: aA=f(a)=ya, bB=f(b)=yb. Отрезки pP и qQ не являются ординатами точек линии y=f(x), так как P и Q лежат на касательной. Но нам

нужна сумма этих отрезков, которая выражается через среднюю линию трапеции и равна полусумме её оснований, откуда SHAPE * MERGEFORMAT Y=f(x) a c b x Малая формула Симпсона пригодна, когда график подынтегральной функции мало изогнут, например для случая, изображённого на рисунке, применять малую формулу уже нельзя, так как она даёт значение 0 на [a,b]. Но если отрезок [a,b] разбить на части [a,c] и [c,b] и к каждому из них применить формулу (9), то получится

приемлемый результат. Эта идея лежит в основе вывода «большой» формулы Симпсона. Для вычисления интеграла выберем какое-либо чётное число и разложим [a,b] на n равных частей точками Раскроем скобки: Это и есть «большая формула Симпсона». Её точность, также как и у всех формул рассмотренных выше, тем выше, чем больше n. Эта формула совпадает с формулой (7), выведенной с помощью парабол. Для оценки погрешности формулы Симпсона

используется формула: Качество этой формулы лучше, чем формулы трапеции и прямоугольников, так как при одном и том же n она даёт большую точность. ПРАКТИКА Общий вид интеграла, решение которого, будет рассмотрено в этом разделе: Заданные значения: a=0; c=0,3; m=2; b=3; k=7. Подставим заданные значения: Сначала, решим искомый интеграл напрямую, основываясь на полученные ранее знания. Применим метод замены: Разделим отрезок [0;3] на n=10 равных