Численное интегрирование определённых интегралов — страница 4

  • Просмотров 3518
  • Скачиваний 286
  • Размер файла 82
    Кб

функция Заменяемая функция Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями yi-1 и yi и высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно выражать для нас) h это Δx,a Δx=(b-a)/n при делении отрезка на n равных отрезков при помощи точек x0=a<x1<…<xn=b. Прямые x=xk разбивают

криволинейную трапецию на n полосок. Принимая каждую из этих полосок за обыкновенную трапецию, получаем, что площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме обыкновенных трапеций. SHAPE * MERGEFORMAT y0 y1 y2 y3 y4 x0=a x1 x2 x3 x4 Площадь крайней полоски слева, как помниться из школьного курса геометрии, равна произведению полусуммы основания на высоту. S= Итак, запишем сказанное выше в математическом виде: (4) Формула (4) и есть формула

трапеций Для определения погрешности интеграла вычисленного с помощью формулы трапеций используется формула: где   3.Формула Симпсона (формула парабол). Существует два подхода к формуле Симпсона. В одном используется парабола в другом нет. А) с использованием параболы. Разделим отрезок [a;b] на чётное число равных частей n=2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1], [x1,x2] и ограниченной заданной

кривой y=f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M0[x0,y0], M1[x1,y1], M2[x2,y2] и имеющей ось, параллельную оси Oy (рис). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией. Уравнение параболы с осью, параллельной оси Oy, имеет вид: Коэффициенты A, B и C однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные

параболы строятся и для других пар отрезков. Сумма параболических трапеций и даст приближённое значение интеграла. Сначала вычислим площадь одной параболической трапеции. Для этого докажем лемму. SHAPE * MERGEFORMAT M0 M1 M2 x0=a xn=b Лемма: если криволинейная трапеция ограничена параболой Ox и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то её площадь равна: (5), где y0 и y2- крайние ординаты, а y1- ордината кривой в середине отрезка.

Доказательство: SHAPE * MERGEFORMAT M0 M1 M2 y0 y1 y2 -h 0 h Расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рис. Коэффициент в уравнение параболы определяются из следующих уравнений: Если x0=-h, то Если x1=0, то (6) Если x2=-h, то Считая коэффициенты A. B, C известными определим площадь параболической трапеции с помощью определённого интеграла: из равенства (6) следует, что следовательно: ч.т.д. пользуясь формулой (5), можно написать