Численное интегрирование определённых интегралов — страница 2

  • Просмотров 3515
  • Скачиваний 286
  • Размер файла 82
    Кб

некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом: (1) это формула Ньютона-Лейбница. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: SHAPE * MERGEFORMAT y x a b Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких, что δ=maxΔxi→0 (n→∞) и при любом выборе точекинтегральная сумма σk=f(εi) Δxi стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е.limn→∞ σk =

limδ→0 f (εi) Δxi=A(2). Где Δхi=xi-xi-1 (i=1,2,…,n) ε=maxΔxi – начало разбиения произвольная точка из отрезка[xi-1;xi] сумма всех произведений f(εi)Δxi(i=1,…,n). Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ: SHAPE * MERGEFORMAT S b a Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на отрезке [a,b], функция f

неотрицательна, но определённый интеграл численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, S=f(x)dx. II.Приближённые методы вычисления. Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на этом промежутке существует функция F такая, что F’=f, то есть существует первообразная для функции f, но не всякая элементарная функция f имеет элементарную первообразную F. Объясним

понятие элементарной функции. Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая, обратные тригонометрическим называются основными элементарными функциями. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных. Например следующие интегралы: ∫e-xdx; ∫dx/ln│x│; ∫(ex/x)dx;

∫sinx2dx; ∫ln│x│sinxdx существуют, но не выражаются в конечном виде через элементарные функции, то есть относятся к числу интегралов, «не берущихся» в элементарных функциях. Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что не удобно, долго и не

рационально. В этих случаях вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (1) сводит вычисление определённого интеграла от какой-либо функции к нахождению её первообразной. Значит, если первообразная не элементарна, надо вычислить определённый интеграл как-то по другому, поэтому прибегают к различным методам приближённого интегрирования. В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический