Центральная Предельная Теорема и её приложения. Решение Определенного интеграла методом Монте-Карло — страница 7

  • Просмотров 4961
  • Скачиваний 678
  • Размер файла 136
    Кб

метод, позволяющий вычислять интегралы высокой кратности. И во-вторых, это метод, который дает лишь вероятностные гарантии степени точности вычисления интегралов. Метод Монте-Карло - это статистический метод, его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации и массового обслуживания, при

исследовании сложных систем (экономических, биологических и т. д.). Сущность метода состоит в том, что в решаемую задачу вводят случайную величину ξ, изменяющуюся по какому-то закону p(ξ). Как правило, случайную величину выбирают таким образом, чтобы искомая в задаче величина стала математическим ожиданием от случайной величины. Таким образом мы определяем искомую величину лишь теоретически. А вот чтобы найти ее численно,

пользуются статистическими методами: берут выборку случайной величины ξ объемом элементов. В результате получают вариант случайной величины ξi, для которых вычисляют их среднее арифметическое (выборочное среднее) которое и принимают в качестве приближенного значения (оценки) искомой величины : Для получения результата приемлемой точности по методу Монте-Карло требуется большое число статистических испытаний. Именно

поэтому этот метод иногда так и называют: метод статистических испытаний. Теория метода Монте-Карло изучает способы выбора случайных величин ξ  для решения различных задач, а также способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин. Уменьшение дисперсии играет большую роль, поскольку при равных объемах выборок, выборка с меньшей дисперсией имеет меньшую погрешность. Итак, для вычисления однократного интеграла

методом Монте-Карло может быть применена формула      (а)   где xi равномерно распределенное на интервале [a,b] случайное число. Справедлива следующая оценка точности вычисления интеграла по формуле (а) с вероятностью p=1-η выполняется неравенство Например, если положить p=99%, тогда η = 0.01 и можно утверждать, что с вероятностью 99% справедливо неравенство где Все, что нужно для вычисления интегральной  суммы по формуле (1) -

это научиться получать случайные числа, равномерно распределенные на интервале [a,b]. Для этой цели можно использовать генератор случайных чисел, входящий в состав стандартных библиотек, поставляемых с компилятором. С помощью функции random легко получить случайное вещественное число, равномерно распределенное на интервале [0,1] - например, результатом выполнения оператора x=random является случайное вещественное число из интервала