Бипримарные группы — страница 3

  • Просмотров 4515
  • Скачиваний 35
  • Размер файла 568
    Кб

-подгруппа из , Так как имеет индекс в силовской -подгруппе из , то разрешима и содержит -холловскую подгруппу . Кроме того, и . Лемма Конечная группа, содержащая нильпотентную -холловскую подгруппу, -разрешима. Доказательство. Достаточно показать непростоту группы в случае, когда делит . Предположим, что простая и делит . В -свободных группах нет нильпотентных -холловских подгрупп [??], отличных от -силовской. Если не -свободна, то по

лемме (??) существует ненильпотентная -подгруппа. Это противоречит теореме Виландта [??]. Лемма доказана. Через обозначим произведение всех разрешимых нормальных в подгрупп. Лемма Пусть конечная группа и пусть разрешима, а взаимно прост с . Если в существует нилъпотентная -холловская подгруппа, то разрешима. Доказательство. Если --- -группа, то разрешима по лемме Сыскина(2). Пусть делит и --- минимальная нормальная в подгруппа. Если , то

и разрешима по индукции, поэтому разрешима и . Пусть . Тогда и имеет порядок взаимно простой с . Значит нильпотентная -холловская подгруппа из содержится в и -разрешима по лемме(2). Из минимальности следует, что разрешима. Итак, в любом случае содержит разрешимую нормальную подгруппу . Фактор-группа удовлетворяет условиям леммы и по индукции разрешима. Поэтому разрешима и . Лемма доказана. Теорема (??) вытекает из следующей более

общей теоремы Теорема Пусть и --- подгруппы конечной группы и пусть . Предположим, что и --- -замкнуты для каждого . Если и -разложимы и -разложимы, то разрешима. Доказательство индукцией по порядку . Пусть --- минимальная нормальная в подгруппа. Фактор-группа , а подгруппы и будут - и -разложимыми и -замкнутыми для каждого . По индукции разрешима, а неразрешима. Поэтому и . Следовательно, в единственная минимальная нормальная подгруппа.

Пусть и пусть и --- силовские -подгруппы из и соответственно. Так как и р-замкнуты и , то по лемме (??). Но содержит точно одну минимальную нормальную подгруппу. Поэтому либо , либо . Итак для каждого , либо не делит , либо не делит . Следовательно, порядки и взаимно просты. Но теперь --- простая группа. Так как группа Судзуки нефакторизуема(4), то по теореме Глаубермана (4)порядок делится на , а по теореме Фомина (2) порядок одного из факторов,

пусть порядок , делится на . Теперь в существует нильпотентная -холловская подгруппа. По лемме (3)группа разрешима. Теорема доказана. 3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта Пусть конечная группа является произведением двух своих подгрупп и , причем есть группа Шмидта, т. е. ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Признаки разрешимости группы при дополнительных ограничениях на