Билеты по аналитической геометрии — страница 7

  • Просмотров 4301
  • Скачиваний 540
  • Размер файла 426
    Кб

следовательно a/b характеризует вектор асимптотического направления. Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка. Решение: положим, что b¹0 и поделим на b2, получим: a11(a/b)2+2a12a/b+a22=0 из этого квадратного уравнения найдем a/b. т.к. у линий гиперболического и параболического типов I2£0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2>0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые

асимптотические направления). Найдем асимптотические направления у гиперболы: (a, b)1=(a,b) (a, b)2=(-a,b) Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот. Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы. Найдем асимптотические направления у параболы: y2=2px y2-2px=0 u(x,y)= y2+0, y=0 (a, b)=(0,0) Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси

симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет. РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ. Пусть задано трехмерное пространство. Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C¹0 одновреенно. Справедлива и обратная

теорема. Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением. Вектор n – нормальный вектор плоскости. 2. Уравнение плоскости в отрезках: 3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой. Пусть n(A,B,C) и М(x0;y0;z0). Запишем ур-е пл-ти: Ax+By+Cz+D=0 Ax0+By0+Cz0=-D A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 5.         Уравнение плоскости ч/з 3 точки. Пусть известны три точки не принадл. одной прямой. М1(x1;y1;z1); М2(x2;y2;z2); М3(x3;y3;z3) Пусть

М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны. М1М x-x1 y-y1 z-z1 М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0 М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1 6.         Параметрическое ур-е плоскости. Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V1;V2;V3); U(U1;U2;U3); M0(x0;y0;z0), тогда плостость имеет вид: система: x=x0+V1t+U1s и y=y0+V2t+U2s и z=z0+V3t+U3s РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ. Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0)                  

          ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ. Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0; A2x+B2y+C2z+D2=0, поэтому n1(A1;B1;C1); n2(A2;B2;C2). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами. Пучки и связки плоскостей. Определение: пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, проходящих ч/з одну и ту же прямую. Что бы задать пучок плоскостей д.б. определены