Билеты по аналитической геометрии — страница 6

  • Просмотров 4352
  • Скачиваний 541
  • Размер файла 426
    Кб

ПОРЯДКА. Пусть задана на плоскости линия уравнением (1). Параллельный перенос: Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого: a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2) точка О’ находится из условия: a13’=0 и a23’=0. Получается система a11x0+a12y0+a13=0 и a12x0+a22y0+a23=0 Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром

симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’) Но точка О’ существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля. Точка O’ – единственная точка. Центр симметрии кривой существует если I2¹0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа Поворот: Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12=0. a12’= -0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:

a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0 (3) ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I2>0 и пусть I1>0 следовательно уравнение (1) определяет: 1. I3<0 – эллипс; 2. I3=0 – точка; 3. I3>0 – ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*). Доказательство: 1. пусть I2>0, I1>0, I3<0, тогда

а11’’x’’2+a22’’ y’’2= -I3/I2 I2=a11’’a22’’ > 0 I1= a11’’+a22’’ > 0 a11’’ > 0; a22’’ > 0 Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса. 2. I3>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа. 3. I3=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса. ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. Теорема: Пусть уравнение (1) определяет

линию гиперболического типа. Т.е. I2<0, I3¹0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I3=0 – пару пересекающихся прямых. Доказательство: I2<0; I2= a11’’a22’’ < 0. Пусть a11’’>0; a22’’<0 Пусть I3>0 В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ. Пусть I3<0 -(-а11’’)x’’2+a22’’ y’’2= -I3/I2 В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY Пусть I3=0 а11’’x’’2-(-a22’’)y’’2=0                                  

    АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a11x2+2a12xy+a22y2 Определение: ненулевой вектор (a, b) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой. (a, b) – вектор асимптотического направления. a11a2+2a12ab+a22b2=0 (*) Рассмотрим (a’, b’) параллельный (a, b):