Билеты по аналитической геометрии — страница 5

  • Просмотров 4361
  • Скачиваний 541
  • Размер файла 426
    Кб

Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы). Доказательство: для эллипса. r1/d1=e £|a|, xe+a>0 r1=xe+a d1 – расстояние от М(x,y) до прямой D1 xcos180+ysin180-p=0 x=-p x=-a/e бм=-x-a/e d1=-бм (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.) Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до

соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу, если =1.           ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ. Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы. Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус. r= r d=p+rcosj e=r/p+rcosj - полярное

уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы. КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0;y0) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо: у-у0=y’(x0)(x-x0) Рассмотрим касательную к кривой следовательно ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0 - уравнение касательной к эллипсу. - уравнение касательной к гиперболе. - уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ. Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота. Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами: (е1;е1’)=cos u (е1;е2’)=cos (90+u)= -sin u (е2;е1’)=cos (90-u)=sin u (е2;е2’)=cos u Базис рассматривается ортонормированный: (е1;е1’)=(е1, a11е1+a12е2)= a11

(е1;е2’)= (е1, a21е1+a22е2)= a21 (е2;е1’)= a12 (е2;е2’)= a22 Приравниваем: a11=cos u a21= - sin u a12=sin u a22=cos u Получаем: x=a+x’cos u – y’sin u y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u. ------------ x=a+x’ y=b+y’ - формулы параллельного переноса ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая

своего значения при преобразовании системы координат. Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3 Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию. Определение: I2>0 – элиптический тип I2<0 – гиперболический тип I2=0 – параболический тип         ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО