Билеты по аналитической геометрии — страница 4

  • Просмотров 4362
  • Скачиваний 541
  • Размер файла 426
    Кб

sinq). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части. Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду. Ах+By+C=0 xcosq+ysinq-P=0 т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности. Cos2q=(A*t)2 Sin2q=(B*t)2 -p=C*t cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign t= - sign C Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е

умножить на t. Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель. 2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону. Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosq+ysinq-P=0 и М1(x1;y1), тогда отклонение точки М1 = x1cosq+y1sinq-P=0 Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=|

x0cosq+y0sinq-P|. d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2) ГИПЕРБОЛА. Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная Каноническое уравнение: Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до фокусов; |r2-r1|=2a; a<c; x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2) x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2) c2-a2=b2 x2b2-a2y2=a2b2

- каноническое ур-е гиперболы ПАРАБОЛА. Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой. Каноническое уравнение: Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат. |DF|=p, М –

произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d; r=sqrt((x-p/2)2+y2); d=p/2+x Приравниваем и получаем: y2=2px - каноническое уравнение параболы ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ. 1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а. е=с/а е эллипсв <1 (т.к. а>c) е гиперболы >1 (т.к. с>a) Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0. Выразим эксцентриситеты через а и b: е эллипса является мерой его

«вытянутости» е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами 2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е<a) D1: x= - a/e D2: x= a/e р=а(1-е2)/е – для эллипса р=а(е2-1)/е – для гиперболы ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ. Теорема: