Билеты по аналитической геометрии — страница 2

  • Просмотров 4300
  • Скачиваний 540
  • Размер файла 426
    Кб

мах. совокупность линейно-независимых векторов системы. В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора. В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару. В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов. 2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с

общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними. (а,b)=|a| |b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е =0;

u>90, пр-е отриц. Свойства: 1.         (а,b)= (b,а) 2.         (aа,b)= a (а,b) 3.         (а+b,с)= (а,с)+ (b,с) 4.         (а,а)=|a|2 – скал.квадрат. Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0. Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1. Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы

базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован. Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат. Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22) ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Определение: векторным произведением двух векторов a и b

обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку. Свойства: 1.         [a,b]= - [b,a] 2.         [aа,b]= a [а,b] 3.         [a+b,c]=[a,c]+[b,c] 4.         [a,a]=0 Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах. Доказательство: справедливость

теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения. Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго. Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое