Билеты по аналитической геометрии

  • Просмотров 3575
  • Скачиваний 532
  • Размер файла 426
    Кб

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. Пусть задана система векторов а1, а2, а3,…,ал (1) одной размерности. Определение: система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a1а1+a2а2+…+aлал=0 (2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a1, a2,…, aл=0 и ÎR Определение: система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном ai¹0 (i=1,…,k) Свойства 1.         Если система

векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима 2.         Если система векторов содержит линейно-зависимую подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой. 3.         Если система векторов линейно-независима, то и любая ее подсистема будет линейно независимой. 4.         Если система векторов содержит хотя бы один вектор, являющийся линейной комбинацией других

векторов, то эта система векторов будет линейно зависимой. Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях. Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а¹0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g, что b=ga. Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы

необходимо и достаточно, что бы они были коллинеарны. Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=ga. Будем считать, что а,b¹0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1b-ga=0. Т.к. коэфф. При b¹0, то система линейно зависима по определению. Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. aа+bb=0, a¹0. а= -b/a*b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число. Теорема: для того, чтобы три вектора были

линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость. Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0, g¹0. с= - a/g*а - b/g*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости. БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Определение: пусть задана некоторая система векторов. Базисом этой системы называется