Базисные сплайны

Введение Большинство численных методов решения задач математического анализа так или иначе связано с аппроксимацией функций. Это и собственно задачи приближения функций (интерполяция, сглаживание, наилучшие приближения) и задачи, в которых аппроксимация присутствует как промежуточный этап исследования (численное дифференцирование и интегрирование, численное решение дифференциальных и интегральных уравнений). Типичной

задачей приближения является задача интерполяции: по заданной таблице чисел , восстановить функцию  с той или иной точностью на отрезке [а, b] действительной оси. Классический метод ее решения состоит в построении интерполяционного многочлена Лагранжа, определяемого равенством  Хотя согласно теореме Вейерштрасса всякая непрерывная функция  на отрезке  может быть как угодно хорошо приближена многочленами, практические

возможности применения многочленов Лагранжа ограничены. Прежде всего, используя подобный аппарат, мы должны быть уверены, что, выбрав достаточно большое число узлов интерполяции, получим хорошее приближение интерполируемой функции. Однако, как показывает ряд простых примеров, это часто нельзя гарантировать. С. Н. Бернштейном (1916 г.) было установлено, что последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа построенных

для непрерывной функциина отрезке [—1, 1] по равноотстоящим узлам , с возрастанием  не стремится к . Еще более любопытен другой пример, восходящий к Рунге (1901 г.) и состоящий в том, что указанный интерполяционный процесс не сходится на [—1, 1] даже для гладкой сколь угодно раз дифференцируемой функции (рис. 0.1). В обоих случаях Иногда эти трудности удается преодолеть путем специального выбора узлов интерполяции или за счет

перехода к каким-либо обобщенным многочленам. Однако такой путь, как правило, весьма усложняет вычисления и к тому же не избавляет нас от второй проблемы — быстрого накопления ошибок округления с ростом степени многочлена. Поэтому на практике для того, чтобы достаточно хорошо приблизить функцию, вместо построения интерполяционного многочлена высокой степени используют интерполяцию кусочными многочленами. Примером такого